常微分方程期终试卷(18) 一、填空(30分) 1、=g()称为齐次方程,=P(x)y2+(x)y+R(x)称为黎卡提 x dx 方程。 2、如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程 =f(x,y)存在唯一的解y=(x),定义于区间|x-x|≤h上,连续且 满足初始条件(xo)=yo,其中h=min(a,),M=maxf(x,y)。 (x,y)ER 3、若x()(i=1,2,…,n)是齐线性方程的n个解,w()为其伏 朗斯基行列式,则w()满足一阶线性方程w()+a(t)w(1)=0 MLk-I 4、对逼卡逼近序列,(x)-(x)(x-x0)。 5、若()和()都是x=A(1)x的基解矩阵,则()和()具有关系 (t)=() 6、方程M(x,y)dx+n(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是 aM aN aM aN N=只含y的积分因子的充要条件是y0x=(y) ox M 7、方程=y-1经过(0,0)点的解在存在区间是(-)。 2 二、计算(60分) 1、求解方程xdy+(y+x2y4)dx=0 解:所给微分方程可写成
常微分方程期终试卷(18) 一、 填空（30 分） 1、 ( ) x y g dx dy = 称为齐次方程， ( ) ( ) ( ) 2 P x y Q x y R x dx dy = + + 称为黎卡提 方程。 2、如果 f (x, y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件，则方程 f (x, y) dx dy = 存在唯一的解 y = (x) ，定义于区间 x − x0 h 上，连续且 满足初始条件 0 0 (x ) = y ，其中 min( , ) M b h = a ， max ( , ) ( , ) M f x y x y R = 。 3、若 x (t) i (i = 1，2，……， n) 是齐线性方程的 n 个解， w(t) 为其伏 朗斯基行列式，则 w(t) 满足一阶线性方程 ( ) 1 ( ) ( ) 0 ' w t + a t w t = 。 4、对逼卡逼近序列， k k k k x x k ML x x ( ) ! ( ) ( ) 0 1 − 1 − − − 。 5、若 (t) 和 (t) 都是 x A(t)x ' = 的基解矩阵，则 (t) 和 (t) 具有关系 (t) = (t)C。 6、方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 有只含 x 的积分因子的充要条件是 (x) N x N y M = − 。有只含 y 的积分因子的充要条件是 ( y) M x N y M = − − 。 7、方程 2 1 2 − = y dx dy 经过 (0,0) 点的解在存在区间是 (−,+)。 二、 计算（60 分） 1、 求解方程 ( ) 0 2 4 xdy + y + x y dx = 。 解：所给微分方程可写成 ( ) 0 2 4 xdy + ydx + x y dx =
即有 d(xy)+x ydx 上式两边同除以(xy)4,得 d(x +dx=0 由此可得方程的通解为 即 1+3 2、求解方程y=p2+2p 解:所给方程是关于y可解的,两边对x求导,有 p=(2p+6p2) (1)当p=0时,由所给微分方程得y=0 (2)当a=(2+6pl时,得x=2p+3p2+c 因此,所给微分方程的通解为 x=2p+3p2+c,y=p2+2 (p为参数) 而y=0是奇解。 3、求解方程x-4x+4x=e+e2+1 解:特征方程x2-42+4=0,A2=2, 故有基本解组e2,te2, 对于方程x-4x+4x=e,因为λ=1不是特征根,故有形如 x()=4e'的特解, 将其代入x-4x+4x=e2,得2A2=e”,解之得A=1, 对于方程x-4x+4x=1,因为λ=0不是特征根,故有形如 x3()=A的特解, 将其代入x-4x+4x=1,得A=1,所以原方程的通解为 4
即有 ( ) 0 2 4 d xy + x y dx = 上式两边同除以 4 (xy) ，得 0 1 ( ) ( ) 4 2 + dx = xy x d xy 由此可得方程的通解为 3 1 1 3( ) 1 c xy x − − = 即 2 3 3 3 1+ 3x y = cx y ( 3 )1 c = − c 2、 求解方程 2 3 y = p + 2 p 解：所给方程是关于 y 可解的，两边对 x 求导，有 dx dp p (2 p 6 p ) 2 = + （1） 当 p = 0 时，由所给微分方程得 y = 0 ； （2） 当 dx = (2 + 6 p)dp 时，得 x = p + p + c 2 2 3 。 因此，所给微分方程的通解为 x = p + p + c 2 2 3 ， 2 3 y = p + 2 p （ p 为参数） 而 y = 0 是奇解。 3、 求解方程 4 4 1 '' ' 2 − + = + + t t x x x e e 解：特征方程 4 4 0 2 − + = ， 2 1,2 = ， 故有基本解组 t e 2 ， t te 2 ， 对于方程 t x − 4x + 4x = e '' ' ，因为 =1 不是特征根，故有形如 t x (t) = Ae 1 的特解， 将其代入 t x x x e '' ' 2 − 4 + 4 = ，得 t Ae e t 2 2 2 = ，解之得 2 1 A = ， 对于方程 4 4 1 '' ' x − x + x = ，因为 = 0 不是特征根，故有形如 x3 (t) = A 的特解， 将其代入 4 4 1 '' ' x − x + x = ，得 4 1 A = ，所以原方程的通解为
x(t)=e2(c1+c21)+e'+t2e 4、试求方程组x=Ax的一个基解矩阵,并计算eA,其 中 2 解:p()=deE-A)=0,λ=√3,2=-√3,均为单根, 设λ1对应的特征向量为n,则由(λE-A)1=0,得 0 取 2+3,同理可得A对应的特征向量为n=,- 则a1(0)=en,g2()=e-n2,均为方程组的解,令d()=(an(),2(1), 又v(0)=detd() ≠0 所以)即为所求基解矩阵 (2+3k(2-3y-5)° dx =x+y+1 5、求解方程组{ 的奇点,并判断奇点的类型及 =x-I 稳定性。 解:令{x+y+1=0,得{x=2,即奇点为(2,-3 x-y-5=0 dX X+y 令 X 2 代入原方程组得{t dy dt 因为 又由2-1 2=0, 12+1 解得λ=√2,2=-2为两个相异的实根
4 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 = + + + + t t t x t e c c t e t e 4、 试求方程组 x = Ax ' 的一个基解矩阵，并计算 exp At ，其 中 − − = 1 2 2 1 A 解： p() = det(E − A) = 0， 3 1 = ，2 = − 3 ，均为单根， 设 1 对 应 的 特 征 向 量 为 1 v ， 则 由 (1E − A)v1 = 0 ， 得 + = (2 3) 1 v , 0 取 + = 2 3 1 1 v ，同理可得 1 对应的特征向量为 − = 2 3 1 2 v ， 则 1 3 1 (t) e v t = ， 2 3 2 (t) e v − t = ，均为方程组的解，令 ( ) ( ( ), ( )) 1 2 t = t t ， 又 3 0 2 3 2 3 1 1 (0) det (0) = − + − w = = ， 所以 (t) 即为所求基解矩阵 + − − − t t t t e r e e 3 3 3 3 (2 3) (2 3) 。 5、 求解方程组 = − − = + + 5 1 x y dt dy x y dt dx 的奇点，并判断奇点的类型及 稳定性。 解：令 − − = + + = 5 0 1 0 x y x y ，得 = − = 3 2 y x ，即奇点为（2，-3） 令 = + = − 3 2 Y y X x ，代入原方程组得 = − = + X Y dt dY X Y dt dX ， 因为 2 0 1 1 1 1 = − − ，又由 2 0 1 1 1 1 2 = − = − + − − ， 解得 2 1 = ，2 = − 2 为两个相异的实根
所以奇点为不稳定鞍点,零解不稳定。 6、求方程=x+y2经过(0,0)的第二次近似解。 解:gn(x)=0, (x)=0+f(x0)、1,2 02(x)=0+f(xxhs1 20 、证明(10分) 假设m不是矩阵A的特征值,试证非齐线性方程组 有一解形如 P(o=pe 其中c,p是常数向量。 证:设方程有形如o(1)=pe"的解,则p是可以确定出来的 事实上,将pe"代入方程得mpe"=4pem+cem 因为em=0,所以m=4pe+e, (mE-A)P=c (1) 又m不是矩阵A的特征值,det(mE-A)≠0 所以(mE-A)存在,于是由(1)得p=(mE-4)-c存在 故方程有一解()=(mE-4)-ce"=pem
所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。 6、 求方程 2 x y dx dy = + 经过（0，0）的第二次近似解。 解： 0 (x) = 0， 2 0 1 2 1 (x) 0 f (x,0)dx x x = + = ， 2 5 0 2 2 20 1 2 1 ) 2 1 (x) 0 f (x, x dx x x x = + = + 。 三、 证明（10 分） 假设 m 不是矩阵 A 的特征值，试证非齐线性方程组 mt x = Ax + ce ' 有一解形如 mt (t) = pe 其中 c， p 是常数向量。 证：设方程有形如 mt (t) = pe 的解，则 p 是可以确定出来的。 事实上，将 mt pe 代入方程得 mt mt mt mpe = Ape + ce ， 因为 = 0 mt e ，所以 mp = Ape + c， (mE − A)P = c （1） 又 m 不是矩阵 A 的特征值， det(mE − A) 0 所以 1 ( ) − mE − A 存在，于是由（1）得 p mE A c 1 ( ) − = − 存在。 故方程有一解 mt mt t = mE − A ce = pe −1 ( ) ( )