三、克莱罗( Clairaut方程
§3.4 奇 解 一、包络 二、奇解 三克莱罗(Clairaut)方程
包络
一、包络
定义1:对于给定的一个单参数曲线族: l:Φ(x,y,C)=0 其中c∈cR为参数若存在条曲线l满足下列条件 1)lg{ C∈/5 ()对任意的(x0,y)∈l,存在唯的C0∈l,使得 (xy)∈l且/与12在(x9),°)有相同的切线 则称为曲线度1:①(x,y,c)=0的条包络线 简称为包络
定义1：对于给定的一个单参数曲线族： l c : (x, y,c) = 0 其中 c I R 为参数. 若存在一条曲线 l, 满足下列条件: (1) ; c c I l l (2) 对任意的 ( , ) , 0 0 x y l 存在唯一的 , 0 c I 使得 ( ) 0 0 0 , c x y l 且 l 与 0 c l 在 ( ) 0 0 x , y 有相同的切线. 则称 l 为曲线族 l c : (x, y,c) = 0 的一条包络线, 简称为包络
例如,单参数曲线族 (x-c)2+y2=R (其中R是常数,c是参数)表示圆心为(c,0)而半径 等于R的族圆如图 从图形可见此曲线族有包络 y=R和y=R
例如，单参数曲线族： 2 2 2 l c : (x − c) + y = R （其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径 等于R的一族圆. 如图 R 从图形可见,此曲线族有包络: y=R 和 y= -R
从图形可见,此曲线族没有包络 x+y=c
但是,并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: 2 2 2 l : x y c c + = (如图从形可见 其中c为参数, 此曲线族没有包络 )表示一族同心圆.
问题对于给定的单参数曲线族 la:Φ(x,y,c)=0 其中c∈cR为参数 如何判断它是否有包络?如果有包络,如何求? 根据定义,假设该单参数曲线族有包络l,则对任意的 ,y)∈L存在唯的c∈l,使得(x,y)∈l 于是得到对应关系 c:{>l, (x,y)+>c(x,y)
问题:对于给定的单参数曲线族: l c : (x, y,c) = 0 其中 c I R 为参数. 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l, 则对任意的 (x, y)l, 存在唯一的 c I, 使得 ( , ) . c x y l 于是得到对应关系: c : l → I, (x, y) c(x, y)
从而得到二元函数c=c(x,y),(x,y)∈l使得 Φ(x,y,c(x,y)三0,(x,y)∈l. 若l可用参数形式表示为 x=((t), t∈(a,B) 记C=c(qp(t),y()≡c(t),则 Φ(q(t),y(),c(t)=0,t∈(a,B) 于是,Φ do+odt + 0
从而得到二元函数 c = c(x, y), (x, y) l 使得 (x, y,c(x, y)) 0, (x, y) l. 若 l 可用参数形式表示为: ( , ) ( ), ( ), = = t y t x t 记 c = c((t),(t)) c(t), 则 ((t),(t),c(t)) 0, t (, ) 于是, + + 0. dt dc dt d dt d x y c
现在任取一个固定点M则M在某一条曲线上由于 1与l在M点有相同的切线因为1与1在M点的切线的斜率 分别为￠与-,所以有 +① ≡0 dt 从而 d c 由于在l上不同的点也在不同的1上,即a ≠0 因此 ①≡0
l 任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 c l 上. 由于 l 与 c l 现在 在M点有相同的切线, 因为 l 与 c l 在M点的切线的斜率 分别为 dx dy 与 , y x − 所以, 有 从而 0. dt dc c + 0, dt d dt d x y 由于在 l 上不同的点也在不同的 c l 上, 即 0, dt dc 因此 0. c
因此包络线l任意一点M不仅要满足Φ(x,y,c)=0, 而且还要满足Φ2(x,y,c)=0. 定义2:把联立方程组: ∫o(x,y)=0 Φ(x,yc)=0 中消去参数得到的方程F(xy)=0所表示的曲线l称为曲线族 cfcr的c判别曲线
因此, 包络线 l 任意一点M不仅要满足 (x, y, c) = 0, 而且还要满足 (x, y,c) = 0. c 定义2: 把联立方程组: = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 x y c x y c c 中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 l * 称为曲线族 c c I l 的c-判别曲线
定理1(包络的必要条件):设Φ(x,y,c)及其各一阶偏导数是 (xyo的连续函数,且Φ(x,y,C)=0,有连续光滑的包络 则包络必位于Φ(x,y,c)=0的c判别曲线中 注:(x,yC)=0的包络是c判别曲线,但c判别曲线未必是包络 因此从c判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为Φ(x,y,c)=0 的包络,尚需按定义作进一步的验证
定理1(包络的必要条件): 设 (x, y,c) 及其各一阶偏导数是 (x,y,c)的连续函数, 且 (x, y, c) = 0, 有连续光滑的包络, 则包络必位于 (x, y, c) = 0 的c-判别曲线中. 注: (x, y, c) = 0 的包络是c-判别曲线, 但c-判别曲线未必是包络. 因此从c-判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为 (x, y, c) = 0 的包络, 尚需按定义作进一步的验证