第十讲
第十讲
二、解对初值和参数的连续性
二、解对初值和参数的连续性
在应用中,有时还需要研究含参数的微分方程 dy =(x,y,), (, )e =( ,, (, ) dx 设f(x,y,)在C,内连续,且在内一致地关于y满足局部 Lipschitz条 件,即对任意的(x,y,)G,存在以(x,y)为中心的球及L,对任意的 (x,y,)x,)ec,使得f(x,y,)-f(y=-y2},其中是与 无关的正数.于是对任意的∈(a,B),由解的存在唯一性定理, Cauchy 问题 =f(x,y,) dx y() yo 存在唯一解y=p(,)
类似于定理1与推论1有
定理2解对初值与参数的连线依赖性定理对于定义区域G中的徽∠ 分方程 f(x,y, 设f(x,y,)在G内连续,且在G2内一致地关于y满足局部 Lipschitz条 件.如果(x,y0,n)∈G2且 Cauchy问题 f(r,,, a dx VXo)=yo 的解y=g(x,x0,0,x)在某个闭区间[a,b上有定义,则对任意的g>0,存 在δ=6(;a,b)>0,对任意的(xy,x)∈G1,只要 (x-x)2+(-y)2+(x-)2≤,使得 Cauchy问题 dr"v(x,y,ay y(x)= 的解y=g(xxx)在[ab]上也有定义,且对任意的x∈[a,b,恒成立
推论2:设f(x,y,x)在G2内连续,且在G2内一致地关于y满足局部 Lipschitz条件,则徽分方程=f(xy,x)的解y=(x0,x)作为 (x而,y0,)的函数在它的存在范围 ={(x,x0,y0,4)1(xn,y,)∈G,x∈(a(x0,y0,0),B(x0,yo,x) 内是连续的,其中(a(xn,y,x),(xo,y0,.x)是解y=g(x,x0,y,x)的饱和区
三、解对初值的可微性
三、解对初值的可微性
问题的提出:设f(xy)在G内连续且关于y满足局部 Lipschitz条件, 则做分方程 x,y 的解y=g(x,x0,y0)作为(x,)的函数是否关于(xny)具有可微性?同 样地设∫(x,y,x)在G内连续,且在G1内一致地关于y满足局部 Lipschitz条件,对于定义区域G2中的微分方程=(x,y,x)的解 y=g(x2x,y0,)是否关于(x,y0,x)具有可做性?
定理3解对初值的可微性定理:设∫(xy)在G内连续且关于y的偏导 数/(xy)在G内连续则微分方程=f(x,y)的解y=(xx,y)作为 (xx,y)的函数在它的存在范围 ={(x,x0y)(xo,y0)∈G,x∈(a(x,%),B(xy) 内是连续可微的,其中(a(x,y0),B(x0,y0)是解y=q(x,x0,)的饱和区
特别地,(xx0))是 Cauchy问题: (x,9(x,x0,y0)z, 的解而(x,y)是 Cauchy I问题: dz af (x,x0,y0)z, dr c) 的解
