●●● ●●●● ●●●●● ●●●0 ●●0● ●●● ●● 第一讲
第一讲
●●● ●●●● ●●●●● ●●●0 ●●0● ●●● ●● 第一章绪论 51.1微分方程模型
第一章 绪论 §1.1 微分方程模型
●●● 例1求平面上过点1每点切线斜率为横坐标2倍的曲缘理 ●●0● 解设所求的曲线方程为y=f(x)由导数的几何意义应有 f"(x)=2x, 即 f(x)=2xdx+C=x+C 又由条件:曲线过(1,3),即 f(1)=3, 于是得C=2.故所求的曲线方程为 2 X-+
例1 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程. 解: 设所求的曲线方程为 y = f (x). 由导数的几何意义, 应有 t f '(x) = 2x, 即 ( ) 2 . 2 f x = xdx +C = x +C 又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) = 3, 于是得 C = 2. 故所求的曲线方程为: 2. 2 y = x +
●●● ●●●● ●●●●● ●●●0 ●●0● ●●● ●● 例2物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中,在时刻t=0时测得它的温度为 l=150°C,10分钟后测量得温度为1=100cC.试决定此物 体的温度l和时间t的关系并计算20分钟后物体的温度这 里假设空气的温度保持在un=24°C
例2 物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中, 在时刻 t = 0 时, 测得它的温度为 150 , u0 C = 10分钟后测量得温度为 u1 100 C. 试决定此物 = 体的温度 和时间 的关系,并计算20分钟后物体的温度. 这 里假设空气的温度保持在 u t u 24 C. a =
●●● ●●●● 解: Newton冷却定律: ●●●●● ●●●0 ●●0● 1.热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2.在一定的温度范围内,个物体的温度变化速度与这 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比 设物体在时刻t的温度为u(t)根据导数的物理意义,则 温度的变化速度为由 Newton冷却定律,得到 k(u-ua) 其中k>0为比例系数此数学关系式就是物体冷却过程的数 学模型. 注意此式子并不是直接给出和t之间的函数关系而只是 给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式如何由此式 子求得与t之间的关系式,以后再介绍
解: Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到 t u(t). . dt du ( ), u ua k dt du = − − 其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数 学模型. k 0 注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是 给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式 子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍. u t u t
●●● ●●●● ●●●●● ●●●0 例3RLC电路 ●●0● ●●● ●● K L e(t) C R-LC电路 如图所示的R-LC电路它包含电感L电阳R电容C及电源(t 设LRC均为常数e(t)是时间的已知函数试求当开关K合上后电 路中电流强度与时间t之间的关系
例3 R-L-C电路 如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系
●●● 解:电路的 Kirchhoff第二定律: ●●●● ●●●●● ●●●0 ●●0● 在闭合回路中所有支路上的电压的代数和为零 ●●● ●● 设当开关K合上后,电路中在时刻的电流强度为I(t),则电流 经过电感,电阻R和电容的电压降分别为L,R,,其中Q 为电量于是由 Kirchho第二定律,得到 C e(t)-L=,-R1 Q 二 因为/dQ 于是得到 d 1 r dr,1 1 de(t) + dt.l dt c dt 这就是电流强度与时间听满足的数学关系式
解: 电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 其中Q 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 , , , C Q RI dt dI L ( ) − − − = 0. C Q RI dt dI e t L 因为 , 于是得到 dt dQ I = . 1 ( ) 2 2 dt de t LC L I dt dI L R dt d I + + = 这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式
●●● ●●●● 例4数学摆 ●●●●● ●●●0 ●●0● 数学摆是系于一根长度为的线上而质量为m的质点M 在重力作用下它在垂直于地面的平面上沿圆周运动如图所示 试确定摆的运动方程 mI e
例4 数学摆 数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点M. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示. 试确定摆的运动方程. l m
●●● ●●●● ●●●●● ●●●0 ●●0● 解: Newton第二定律:F=ma. ●●● ●● 取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角9的正方 向则由 Newton第二定律,得到摆的运动方程为 sIn p 附注1如果研究摆的微小振动即当比较小时可以取sng 的近似值φ代入上式这样就得到微小振动时摆的运动方程 d 2
解: Newton第二定律: F = ma. 取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角 的正方 向. 则由Newton第二定律, 得到摆的运动方程为 sin . 2 2 l g dt d = − 附注1: 如果研究摆的微小振动,即当 比较小时, 可以取 的近似值 代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程: sin . 2 2 l g dt d = −
●●● ●●●● ●●●●● ●●●0 ●●0● ●●● ●● 附注2:假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动如果阻力 系数为2则摆的运动方程为 p u ao 8 dt 附注3:假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力Ft)的作 用则摆的运动方程为 do u do g 1 +,F(t)
附注2: 假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动, 如果阻力 系数为 , 则摆的运动方程为: . 2 2 l g dt d dt m d = − − 附注3: 假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作 用,则摆的运动方程为: ( ). 1 2 2 F t l ml g dt d dt m d = − − +
