第五章向量组的线性相关性 ■5.1n维向量 5.2向量组的线性相关性 53矩阵的秩与向量组的秩 5.4向量空间 55基、维数与坐标 56线性方程组解的结构 ■57超定方程的解——最小二乘问题 5.8应用实例 59习题
第五章 向量组的线性相关性 5.1 n维向量 5.2 向量组的线性相关性 5.3 矩阵的秩与向量组的秩 5.4 向量空间 5.5 基、维数与坐标 5.6 线性方程组解的结构 5.7 超定方程的解——最小二乘问题 5.8 应用实例 5.9 习题
51n维向量 定义5.1n个有次序的数构成的数组称为 向量。这n个数称为该向量的n个分量,称为 这个向量的第个分量,n也称为此向量的长度。 分别记 或a a.a
5.1 n维向量 定义5.1 n个有次序的数构成的数组称为n维 向量。这n个数称为该向量的n个分量，称为 这个向量的第个分量，n也称为此向量的长度。 分别记 或 1 2 n a a a = a a =a a a 1 2 , , , n
为列向量和行向量,并规定列向量与行向 量都按矩阵的运算规则进行运算.本书中若 没有指明是列向量还是行向量时,都当作 列向量。为了节省篇幅,常把列向量写成 a=a1,2,, 分量全为实数的向量称为实向量,分量 为复数的向量称为复向量.分量全为零的向 量称为零向量,记为0
为列向量和行向量，并规定列向量与行向 量都按矩阵的运算规则进行运算.本书中若 没有指明是列向量还是行向量时，都当作 列向量。为了节省篇幅，常把列向量写成 分量全为实数的向量称为实向量，分量 为复数的向量称为复向量. 分量全为零的向 量称为零向量，记为 0. 1 2 , , , T n a = a a a
设=[a12a2J,b=[2b2b为列 向量,λ是一个数,则有 (1)2+b=4+h:a2+h2,n+bn (2)Aa=a1,Aan2,… (3)ab-[a b2 a1b1+a2b2+…+anb a, b, a, b b (4)ab a b
设 ， 为列 向量，是一个数，则有 (1) (2) (3) (4) 1 2 , , , T a = a a an 1 2 , , , T b = b b bn 1 1 2 2 , , , T n n a + b = + + + a b a b a b 1 2 , , T n a = a a a 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , n n n n b b a a a a b a b a b b = = + + + T a b = = n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 [ , , , ] T ab
5.2向量组的线性相关性 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合称为向量组。 a1 12 A Ol Ol 12 0l 2 其中,B1=[an,a2…,an],=1,2,…,m al j=1,2,…,n
5.2 向量组的线性相关性 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合称为向量组。 其中， 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a = = = 1 2 1 2 n m β β A α ,α , ,α β βi = = a a a i m i i in 1 2 , , , , 1,2, , . 1 2 , , , , 1,2, , T j j mj = = a a a j n j α
称阝12,…B为矩阵的行向量组,1,2 为矩阵的列向量组。反过来,由有限个可 维数的向量适当排列可构成一个矩阵。 定义52 (1)给定向量组12y(n。对于任何 组+k,个+…+称为 +k 向量组12的 ,k1,k2…,kn 称为这个线性组合的 (2)给定向量组a12及向量。若存 在一组数A,2 使 b=A01+02++(n
称 为矩阵的行向量组， 为矩阵的列向量组。反过来，由有限个同 维数的向量适当排列可构成一个矩阵。 定义5.2 （1） 给定向量组 。对于任何一 组实数 ， 称为 向量组 的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。 （2）给定向量组 及向量。若存 在一组数 ，使 β1 2 m ,β , ,β α1 2 n ,α , ,α α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n k k k 1 2 n k k k α1 2 n + + + α α α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n k k k α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n b = + + + 1 2 α1 2 n α n α
则称向量b=A1+22+…+a可由向量组 线性表示。 定义53设有向量组Aa1a2y,向量组B :B1阝2…,P若向量组A中的每一个向量都可由向 量组B线性表示,则称向量组A可由向量组B线 性表示;若向量组A与向量组B可互为线性表示, 则称向量组A与向量组B等价 定义54给定向量组2,,如果存在不全为零 的数起k,使k1+k2+…+kn=0
则称向量 可由向量组 线性表示。 定义5.3 设有向量组 向量组B 若向量组 A中的每一个向量都可由向 量组B线性表示，则称向量组 A 可由向量组B线 性表示；若向量组A与向量组B 可互为线性表示， 则称向量组A与向量组B等价。 定义5.4 给定向量组 ,如果存在不全为零 的数 ,使 b = + + + 1 2 α1 2 n α n α A:α1 2 s ,α , ,α 1 2 t :β ,β , ,β α1 2 n ,α , ,α 1 2 , , , n k k k 1 2 n k k k α1 2 n + + + = α α 0
则称向量组a,2…线性相关,否则称向 量组a,a2,…,an线 由定义54,若向量组2线性无 关,当且仅当k=k=…=k=0时,才有 ka1+k2a2+…+kn=0成立。 推论:当向量组只有一个向量时,≠0 必线性无关:=0必线性相关。可见,若向 量组中含有零向量,它一定线性相关
则称向量组 线性相关，否则称向 量组 线性无关。 由定义5.4，若向量组 线性无 关，当且仅当 时，才有 成立。 推论：当向量组只有一个向量 时， 必线性无关； 必线性相关。可见，若向 量组中含有零向量，它一定线性相关。 α1 2 n ,α , ,α α1 2 n ,α , ,α α1 2 n ,α , ,α 1 2 0 n k k k = = = = 1 2 n k k k α1 2 n + + + = α α 0 α α 0 α = 0
例5.1判断下列向量组的线性相关性 (1)01= 2)0=12100=2341],13430
例5.1 判断下列向量组的线性相关性 （1） （2） 1,0,1 , 0,1,1 , 2,1,3 T T T = = = 1 2 3 α α α 1 2 3 1,2,1,0 , 2,3,4,1 , 3,4,3,0 T T T α = = = α α
解 (1)因为 2+0-2 21+12+(-1)a3=0+1-1 000 =0 2+1-3 所以这个向量组线性相关 (2)设+k2+k3=0,由向量的加法和 数乘运算可得 2 k1+2k2+3k3=0 2 2k1+3k2+4k3=0 k 1/×,/3 +k 0目 4 3430 k1+4k2+3k3=0 k
解： (1)因为 所以这个向量组线性相关。 (2) 设 ,由向量的加法和 数乘运算可得 2 0 2 0 2 1 ( 1) 0 1 1 0 2 1 3 0 + − + + − = + − = = + − α1 2 3 α α 0 1 1 2 2 3 3 k k k α + + = α α 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 3 0 2 3 4 2 3 4 0 1 4 3 4 3 0 0 1 0 0 k k k k k k k k k k k k k + + = + + = + + = + + = = 0 即