第三章行列式 n31行列式的定义 32行列式的性质及应用 ■3.3克莱姆( Cramer)法则 n34行列式的计算 35应用实例 36习题
第三章 行列式 3.1 行列式的定义 3.2 行列式的性质及应用 3.3 克莱姆（Cramer）法则 3.4 行列式的计算 3.5 应用实例 3.6 习题
31行列式的定义 n3.1.1二、三阶行列式的定义 引入记号:,称它为二阶行列式 21 22 其值规定为: 12 1221
3.1 行列式的定义 3.1.1 二、三阶行列式的定义 引入记号： ，称它为二阶行列式 其值规定为： 21 22 11 12 a a a a 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = −
把a12a2的连线称为二阶行列式的主对角线, 把a2a2的连线称为二阶行列式的副对角线, 那么二阶行列式的值 的乘积减去副对角线上元 例32在平面上有一个平行四边形OACB, A、B两点的坐标分别为:a1b)、(23b2),如图 3.1所示,求平行四边形OACB的面积
把 的连线称为二阶行列式的主对角线， 把 的连线称为二阶行列式的副对角线， 那么二阶行列式的值就等于主对角线上元素 的乘积减去副对角线上元素的乘积。 例3.2 在平面上有一个平行四边形OACB， A、B两点的坐标分别为： 、 ，如图 3.1所示，求平行四边形OACB的面积。 11 22 a , a 12 21 a , a ( ) 1 1 a ,b ( ) 2 2 a ,b
B(a2,b2) A(al, b1) 图3.1二阶行列式等价于平行四边形面积 解:过点A做x轴垂线,交x轴于点E;过点B 做平行x轴直线与过点C做平行y轴直线相交于 点D。显然可以得到三角形CDB和三角形AEO 全等,则有: OACB OEDB +s CDB S AEO AEDC OEDB EDC- a b,-a,, (3-2)
图3.1 二阶行列式等价于平行四边形面积 解：过点A做x轴垂线，交x轴于点E；过点B 做平行x轴直线与过点C做平行y轴直线相交于 点D。显然可以得到三角形CDB和三角形AEO 全等，则有： （3-2） B(a2,b2) C O A(a1,b1) x y E D SOACB = SOEDB + SCDB − S AEO − S AEDC = SOEDB − S AEDC = a1 b2 − a2 b1
根据二阶行列式的定义,该平行四边形的面 积刚好是以A、B两点坐标所构成的二阶行列 式 b 例33求下面三元线性方程组的解: a1x1+a12x2+a12x2=b a21x1+a2x2+a23x3=b aix tax tax,=b
根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面 积刚好是以A、B两点坐标所构成的二阶行列 式： 例3.3 求下面三元线性方程组的解： 2 2 1 1 a b a b + + = + + = + + = 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
解:利用消元法可以得到: a12C3+a12a2331+a12132-a12a31-a12C213-a12332)x 6,a22a33+a12a2363+a13b2a32-a13a22b3-01262a33-6,a23a32 (3-3) 当x之前的系数不为零时,可以解出x的值 但这个结果很难记忆,为此引进三阶行列式 的定义,我们称:a2a 22 32 是一个三阶行列式
解：利用消元法可以得到： （3-3） 当 之前的系数不为零时，可以解出 的值 但这个结果很难记忆，为此引进三阶行列式 的定义，我们称： 是一个三阶行列式 ( ) 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a x = b1 a22a33 + a12a23b3 + a13b2 a32 − a13a22b3 − a12b2 a33 − b1 a23a32 1 x 1 x 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a
其值规定为 aaa 21C 22a a1a2a43+a12a23a31+a13a21a32-a13a2a31-a12a213-a1232 (3-4) 图32给出了它的图示计算规则(称为沙路 图32三阶行列式的计算规贝
其值规定为： （3-4） 图3.2给出了它的图示计算规则（称为沙路 法）。 图3.2 三阶行列式的计算规则 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − −
有了三阶行列式的定义,我们可以把式(3 3)写为: 12a1 13 121 13 21a22a23x1 22a 32 32 当方程组(3-2)的系数行列式 12 D=a21a242≠0时,可以得到它的解
有了三阶行列式的定义，我们可以把式（3- 3）写为： 当方程组（3-2）的系数行列式 时，可以得到它的解。 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 1 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 b a a b a a b a a x a a a a a a a a a = 0 31 32 33 21 22 23 11 12 13 = a a a a a a a a a D
3.1.2n阶行列式的定义 把三阶行列式定义式(3-4)改写为如下形 式 21a2a23=a1(a2a23 )-an2(a2a3-a2a1)+a1(a21a2-a2a21) 则有: (3-5) 12 +a 32a a31 a32 a
3.1.2 n阶行列式的定义 把三阶行列式定义式（3-4）改写为如下形 式： 则有： （3-5） ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 2 2 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − − − + − 3 1 3 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − +
定义3.1在n阶行列式中,划去元素a所在的 第i行和第列元素后,余下的元素按原来次序 构成的n-1阶行列式,称为元素a的 记作M,称为元素a的 根据定义3.1,可以把式(35)变为: 12 13 a21a2a2=a141+a12412+a1343 32a2
定义3.1 在n阶行列式中，划去元素 所在的 第i行和第j列元素后，余下的元素按原来次序 构成的n-1阶行列式，称为元素 的余子式 记作 ，称为元素 的代数余子式。 根据定义3.1，可以把式（3-5）变为： ai j ai j M i j ai j 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a A a A a A a a a a a a a a a = + +