§2.3R上的 Lebesgue测度 教学目的本节利用§22中一般测度的构造方法,构造一个重要的测度, 即欧氏空间R"上的 Lebesgue测度, Lebesgue测度的建立,为定义 Lebesgue积 分打下基础 本节要点利用§22一般测度的构造方法可以较快的构造出Lcbe 度. Lebesgue测度不仅具有抽象测度具有的基本性质,而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等. Lebesgue可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes测度是 Lebesgue度的推广应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue测度的理解 在§2.1和§2.2中讨论了一般测度的性质和构造方法.本节将讨论一个十分重要的情形, 就是n维欧式空间R”上的 Lebesgue测度和 Lebesgue- Stieltjes测度.我们将重点讨论 Lebesgue测度,然后介绍直线上的 Lebesgue-Stieltjes测度 方体的体积我们将要定义的 Lebesgue测度是熟知的长度,面积和体积概念的推广,因 此我们先对R”上的方体的体积作一些规定.设是直线上的一个有界区间(开的,闭的或半 开半闭的)用川表示区间r的长度,即的右端点与左端点之差.若是无界区间,则规 定|=+∞.又规定空集也是区间并且2=0.设1,…n是直线上的n个区间称R"的 子集Ⅰ=1×…×为R中的一个方体在直线R和平面R2中,方体分别就是区间和矩 形.若l1,…,J都是开区间,则称为R中的开方体类似可定义R”中的闭方体和半开 半闭方体设=1x…×1n为R中的一个方体,称=1…n为的体积 环上的测度设C是R中有界的左开右闭方体的全体所成的集类.不难证明C是 个半环(在R的情形是显然的一般情形留作习题).对每个Ⅰ∈C,令 m()= 则显然集函数m在C上是有限可加的并且m(∞)=0.又设是由C生成的环,即 ={4=U1:其中1,…J属于C并且互不相交k21} (见313定理4)对每个A∈R,若A的一个分解式为A=Um,则令
53 §2.3 n R 上的 Lebesgue 测度 教学目的 本节利用§2.2 中一般测度的构造方法, 构造一个重要的测度, 即欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 测度. Lebesgue 测度的建立, 为定义 Lebesgue 积 分打下基础. 本节要点 利用§2.2 一般测度的构造方法,可以较快的构造出 Lebesgue 测 度. Lebesgue 测度不仅具有抽象测度具有的基本性质, 而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等. Lebesgue 可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes 测度是 Lebesgue 度的推广. 应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue 测度的理解. 在§2.1 和§2.2 中讨论了一般测度的性质和构造方法. 本节将讨论一个十分重要的情形, 就是 n 维欧式空间 n R 上的 Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieltjes 测度. 我们将重点讨论 Lebesgue 测度, 然后介绍直线上的 Lebesgue- Stieltjes 测度. 方体的体积 我们将要定义的 Lebesgue 测度是熟知的长度, 面积和体积概念的推广, 因 此我们先对 n R 上的方体的体积作一些规定. 设 I 是直线上的一个有界区间(开的, 闭的或半 开半闭的). 用 I 表示区间 I 的长度, 即 I 的右端点与左端点之差. 若 I 是无界区间, 则规 定 I = +∞. 又规定空集也是区间并且 ∅ = 0. 设 n I , ,I 1 " 是直线上的 n 个区间. 称 n R 的 子集 n I = I ×"× I 1 为 n R 中的一个方体. 在直线 1 R 和平面 2 R 中, 方体分别就是区间和矩 形. 若 n I , ,I 1 " 都是开区间, 则称 I 为 n R 中的开方体. 类似可定义 n R 中的闭方体和半开 半闭方体. 设 n I = I ×"× I 1 为 n R 中的一个方体, 称 n I = I ⋅"⋅ I 1 为 I 的体积. 环R 上的测度 设C 是 n R 中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 不难证明C 是 一个半环(在 1 R 的情形是显然的. 一般情形留作习题). 对每个 I ∈C , 令 m(I) = I . 则显然集函数m 在C 上是有限可加的并且 m(∅) = 0 . 又设R 是由C 生成的环, 即 { : , , , 1}. 1 1 = = ≥ = A I I I k k k i R ∪ i 其中 " 属于C 并且互不相交 (见§1.3 定理 4).对每个 A∈ R , 若 A 的一个分解式为 , ∪ 1 ∞ = = i i A I 则令
m(4)=∑m(1) (1) 由§22引理7,m(A)的值不依赖于A的分解式的选取,因此m在上的值是确定的 引理1由(1)式定义的上的集函数m具有如下性质 (i)m是有限可加的 (i)m是单调的 (i)m是次有限可加的,即若A1,…,Ak∈咒,则 m∪A4 证明设A,…,4是中的k个互不相交的集令A=∪A1,设A的一分解式为 则A=∪∪是A的一个分解式因此有 m(4)=∑∑m(1n)=∑m(4) 故()得证.利用m的有限可加性,类似于921测度的单调性和次可数可加性的证明,可以 证明()和(i)成立■ 定理2由(1)式定义的集函数m是上的测度 证明由§22定理8,只需证明m在C上是可数可加的.设{}是C中的一列互不相交 的集并且I=U1∈C由引理231,对任意k21成立 m(1)=m(U1)≤m( 令k→,即得∑m(1)≤m(D) 下面证明反向不等式任意给定一个E>0.容易知道,存在闭方体JcI和开方体 J1l(≥1)使得 E m()-m()≤E,m()-m(1)≤,i≥1
54 ( ) ( ). 1 ∑= = k i i m A m I (1) 由§2.2 引理 7, m(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取, 因此m 在R 上的值是确定的. 引理 1 由(1)式定义的R 上的集函数 m 具有如下性质: (i) m 是有限可加的. (ii) m 是单调的. (iii) m 是次有限可加的, 即若 A1 ,", Ak ∈ R, 则 ( ) ( ). 1 1 ∑ = = ≤ k i i k i m ∪Ai m A 证明 设 A Ak , , 1 " 是R 中的 k 个互不相交的集. 令 . ∪ 1 k i A Ai = = 设 Ai 的一分解式为 , 1, , . 1 A I i k mi j i =∪ ij = " = 则 ∪∪ k i m j ij i A I = = 1 1 = 是 A 的一个分解式. 因此有 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑∑ ∑ = = = = = k i i k i m j m A m Iij m A i 故(i) 得证. 利用 m 的有限可加性, 类似于§2.1 测度的单调性和次可数可加性的证明, 可以 证明(ii) 和(iii) 成立.■ 定理 2 由(1)式定义的集函数 m 是R 上的测度. 证明 由§2.2定理8, 只需证明 m 在C 上是可数可加的. 设{ }i I 是C 中的一列互不相交 的集并且 = ∈ ∞ = ∪ i 1 i I I C .由引理 2.3.1, 对任意 k ≥ 1成立 ( ) ( ) ( ). 1 1 m I m I m I k i i k i i = ≤ = = ∑ ∪ 令 k → ∞, 即得 ( ) ( ). 1 m I m I i ∑ i ≤ ∞ = 下面证明反向不等式. 任意给定一个ε > 0 . 容易知道, 存在闭方体 J ⊂ I 和开方体 J ⊃ I (i ≥ 1) i i 使得 m(I) − m(J ) ≤ ε, , 1. 2 m(J ) − m(I ) ≤ i ≥ i i i ε (2)
(以一维情形为例,若Ⅰ=(a,b],11=(a1,b],则取J=[a+E,b,J1=(a1,b+) 于是 JcI=∪l1cUJ 由有限覆盖定理,可以从开方体列中{J}选出有限个也覆盖J.不妨设这有限个方体为 J1,…,Jk.设J和J(1≤i≤k)分别是与J和J有相同端点的左开右闭方体(例如,若 J=a+E,b,J1=(a1,b+),则取J′=(a+E,b,J}=(a1,b+])由于 Jc∪J于是更加有Jc∪J由引理1我们有 m(D2=m()smU)∑m)=m) 因此由(2)得到 m()-E≤m(J)≤∑m()≤∑m(1)+E 由于E>0是任意的,由上式得到m(D)≤∑m(1)综合前面的不等式得到 m(D)=∑m(1) 这就证明了集函数m在C上是可数可加的.由§22定理8,集函数m是界上的测■ Lebesgue可测集与 Lebesgue测度 Lebesgue测度的有关定义: Lebesgue外测度m:由上的测度m导出的外测度 Lebesgue可测集:m可测集 esau 可测集类:(R")(a-代数) Lebesgue测度m:m在(R")上的限制 Lebesgue测度空间:(R",M(R"),m)(完备的,a-有限的 Lebesgue测度和 Lebesgue可测集分别简称为L测度和L可测集 上面我们定义了L可测集和L测度.那么L可测集类究竟有多大?L测度是否就是我们 熟知的长度、面积和体积的推广?下面的两个定理回答了这个问题 定理3每个Borl可测集都是 Lebesgue可测集,即(R")cM(R”)
55 (以一维情形为例, 若 I = (a,b], ( , ], i ai bi I = 则取 J = [a + ε ,b] , ) 2 ( , i i ai bi J ε = + ). 于是 . 1 1 ∪ ∪ ∞ = ∞ = ⊂ = ⊂ i i i i J I I J 由有限覆盖定理, 可以从开方体列中{ }i J 选出有限个也覆盖 J. 不妨设这有限个方体为 , , . 1 k J " J 设 J ′ 和 J (1 i k) i ′ ≤ ≤ 分别是与 J 和 i J ′ 有相同端点的左开右闭方体 (例如, 若 J = [a + ε ,b], ) 2 ( , i i ai bi J ε = + , 则 取 J ′ = (a + ε,b] , ] 2 ( , i i ai bi J ε ′ = + ). 由 于 . 1 ∪ k i i J J = ⊂ 于是更加有 . 1 ∪ k i i J J = ′ ⊂ ′ 由引理 1 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ = = = = ′ ≤ ′ ≤ ′ = k i i k i i k i i m J m J m ∪J m J m J 因此由(2)得到 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 − ε ≤ ≤ ∑ ≤ ∑ + ε ∞ = i= i k i i m I m J m J m I 由于ε > 0是任意的, 由上式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ≤ i i m I m I 综合前面的不等式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = i i m I m I 这就证明了集函数m 在C 上是可数可加的. 由§2.2 定理 8, 集函数m 是R 上的测.■ Lebesgue 可测集与 Lebesgue 测度 Lebesgue 测度的有关定义: Lebesgue 外测度 ∗ m : 由R 上的测度 m 导出的外测度. Lebesgue 可测集: ∗ m -可测集. Lebesgue 可测集类: ( ) n M R (σ -代数). Lebesgue 测度 m : ∗ m 在 ( ) n M R 上的限制. Lebesgue 测度空间: ( , ( ), m) n n R M R (完备的, σ -有限的). Lebesgue 测度和 Lebesgue 可测集分别简称为 L 测度和 L 可测集. 上面我们定义了 L 可测集和 L 测度. 那么 L 可测集类究竟有多大? L 测度是否就是我们 熟知的长度、面积和体积的推广? 下面的两个定理回答了这个问题. 定理 3 每个 Borel 可测集都是 Lebesgue 可测集, 即 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R
证明设界是上面所定义的环.容易证明σ()=B(R").由§22定理5知道 (R)c3(R").因此(R”)∈(R"),即每个 Borel可测集都是 Lebesgue可测集.定 理证毕 定理3表明 Lebesgue可测集类包含了足够多的集.特别是一些常见的集都是L可测集 尽管如此,R”中仍然存在子集不是L可测的这样的集称为 Lebesgue不可测集.在本节的 最后我们将给出一个 Lebesgue不可测集的例子.在§3.1例6中我们将证明,在R”中存在 子集是 Lebesgue可测集但不是 Borel集,即M(R")严格包含(R") 由定理3知道,R中的有限集,可数集和各种方体都是L可测集.现在来计算它们的 测度 定理4R”中有限集和可数集的 Lebesgue测度为零,方体的 Lebesgue测度等于该方体 的体积 证明首先注意到,若Ⅰ是R”中的一个有界的左开右闭方体,则由L测度的定义有 m()=|现在设是R"中的任意一个有界方体容易知道对任意E>0,存在左开右闭 方体l1和I2,使得l1CIcl2,并且 川-1|0的任意性即得m()=7再考虑/是无界方体的情形.设/=1x…×ln,其中 1,…,In是直线上的区间并且至少有一个是无界的.容易知道对每个i=1,…,n,在L中 存在一列单调增加的有界闭区间{k2,使得∪Jk=1并且 L limia=|令 Jn,k≥1 则{}是一列单调增加的有界闭方体使得/=∪J,并且 im=lml…{nA=1…n=1 由于J是有界方体,由上面己证的结果有m(J)=4于是由测度的下连续性我们有 m(I)=limm(J,)=lim/Jx=7I 因此任何方体的L测度等于该方体的体积.由于单点集{a}可看成是方体,即 l}=[a,a]×…x[a,a],因此
56 证明 设 R 是上面所定义的环. 容易证明 σ (R ) = ( ). n B R 由§2.2 定理.5 知道 σ (R ) ⊂ ( ) n M R . 因此 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R , 即每个Borel可测集都是Lebesgue可测集. 定 理证毕. 定理.3 表明Lebesgue 可测集类包含了足够多的集. 特别是一些常见的集都是 L 可测集. 尽管如此, n R 中仍然存在子集不是 L 可测的. 这样的集称为 Lebesgue 不可测集. 在本节的 最后我们将给出一个 Lebesgue 不可测集的例子. 在§3.1 例 6 中我们将证明, 在 n R 中存在 子集是 Lebesgue 可测集但不是 Borel 集, 即 ( ) n M R 严格包含 ( ) n B R . 由定理 3 知道, n R 中的有限集, 可数集和各种方体都是 L 可测集. 现在来计算它们的 L 测度. 定理 4 n R 中有限集和可数集的 Lebesgue 测度为零, 方体的 Lebesgue 测度等于该方体 的体积. 证明 首先注意到, 若 I 是 n R 中的一个有界的左开右闭方体, 则由 L 测度的定义有 m(I) = I . 现在设 I 是 n R 中的任意一个有界方体. 容易知道对任意ε > 0 , 存在左开右闭 方体 1 2 I 和I , 使得 , 1 2 I ⊂ I ⊂ I 并且 , . 1 2 I − I 0 的任意性即得 m(I) = I . 再考虑 I 是无界方体的情形. 设 , 1 n I = I ×"× I 其中 n I , ,I 1 " 是直线上的区间并且至少有一个是无界的. 容易知道对每个i = 1,",n, 在 i I 中 存在一列单调增加的有界闭区间 , 1 { } i k k≥ J , 使得 i k i k J = I ∞ = ∪ 1 , 并且 lim . i,k i k J = I →∞ 令 , k 1,k n,k J = J ×"× J k ≥ 1. 则{ }k J 是一列单调增加的有界闭方体使得 , 1 ∪ ∞ = = k k I J 并且 lim lim . 1, , 1 J J J I I I k n k n k k k = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = →∞ →∞ " " 由于 k J 是有界方体, 由上面已证的结果有 ( ) . k k m J = J 于是由测度的下连续性我们有 m(I) lim m(J ) lim J I . k k k k = = = →∞ →∞ 因此任何方体的 L 测度等于该方体的体积 . 由于单点集 {a} 可看成是方体 , 即 {a} = [a,a]×"×[a,a], 因此
m({a})=[aal×… x[a,a]=0 再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的L测度为零 由定理4知道, Lebesgue测度确实是区间的长度,矩形的面积和方体的体积概念的推 广,而且它能对R"中的更多的子集给予一种类似于体积的度量 例1由于直线上有理数集是可数集,由定理4知道,直线上有理数集的L测度等于零 又实数集R的一维L测度m(R)=R|=+0.但R作为R2的子集,其二维L测度 m(R)=m(R×(0)=|R×{=+∞0=0 这里顺便指出证明区间[0,1不是可数集的另一方法由定理4,可数集的L测度为零 但m([0,1)=1,因此[0,]不是可数集 例2设K是 Cantor集在§1.4中构造 Cantor集时,从[O,1]中去掉的那些开区间的并记 为G.我们已经知道这些区间长度之和为1,即m(G)=1.由于K=[0,]-G,因此 m(K)=m([O,)-m(G)=1-1=0 我们知道K不是可数集(其基数为c),这个例子表明一个不可数集的L测度也可能为零 设A是R"的子集,是上面所定义的环.则由L外测度的定义有 m(4)=mf2m(4):{4}是中的集列并且A∈U4 下面给出 Lebesgue外测度的另一种表示方法 定理5设A是R"的子集.则 m(4)=m∑是一列有界开区间并且AcU 证明设A是R”的子集.若m(4)=+∞,则(4)显然成立.现在设m(4)0,存在R中的一列集{}使得Ac∪A并且 ∑m(A,)<m'(4)+E 由于每个A1都可以表为有限个左开右闭方体的并,故不妨设每个A都是左开右闭方体容 易知道对每个,存在开方体1,使得Ac1并且-4|<5,由于AcU,利用5) 得到
57 m({a}) = [a, a]×"×[a, a] = 0. 再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的 L 测度为零. ■ 由定理 4 知道, Lebesgue 测度确实是区间的长度, 矩形的面积和方体的体积概念的推 广, 而且它能对 n R 中的更多的子集给予一种类似于体积的度量. 例 1 由于直线上有理数集是可数集, 由定理 4 知道, 直线上有理数集的 L 测度等于零. 又实数集 1 R 的一维 L 测度 ) . 1 1 m(R = R = +∞ 但 1 R 作为 2 R 的子集, 其二维 L 测度 ( ) ( {0}) {0} 0 0. 1 1 1 m R = m R × = R × = +∞ ⋅ = 这里顺便指出证明区间[0,1]不是可数集的另一方法. 由定理 4, 可数集的 L 测度为零. 但m([0,1]) = 1, 因此[0,1]不是可数集. 例 2 设 K 是 Cantor 集. 在§1.4 中构造Cantor 集时, 从[0,1]中去掉的那些开区间的并记 为G. 我们已经知道这些区间长度之和为 1, 即m(G) = 1. 由于 K =[0,1] − G, 因此 m(K) = m([0,1]) − m(G) = 1−1 = 0. 我们知道 K 不是可数集(其基数为c ), 这个例子表明一个不可数集的 L 测度也可能为零. 设 A 是 n R 的子集, R 是上面所定义的环. 则由 L 外测度的定义有 = ∑ ⊂ ∞ = ∞ = ∗ 1 1 ( ) inf ( ) :{ } , i i m A m Ai Ai 是R 中的集列 并且A ∪Ai . (3) 下面给出 Lebesgue 外测度的另一种表示方法. 定理 5 设 A 是 n R 的子集. 则 = ⊂ ∞ = ∞ = ∗ ∑ ∪ 1 1 ( ) inf :{ } , i i i i i m A I I 是一列有界开区间 并且A I . (4) 证明 设 A 是 n R 的子集. 若 ( ) = +∞, ∗ m A 则(4)显然成立. 现在设 ( ) 0, 存在R 中的一列集{ } Ai 使得 ∪ ∞ = ⊂ i 1 A Ai 并且 ( ) ( ) . 1 < + ε ∗ ∞ = ∑m A m A i i (5) 由于每个 Ai 都可以表为有限个左开右闭方体的并, 故不妨设每个 Ai 都是左开右闭方体. 容 易知道对每个i , 存在开方体 i I 使得 i i A ⊂ I 并且 . 2i i Ai I ε − < 由于 , 1 ∪ ∞ = ⊂ i i A I 利用(5) 得到
m(4)≤∑m(1)=∑s∑A|+6≤m(4)+26 在上式里对A的所有有界开方体的覆盖取下确界得到 m(4)≤m∑是一列有界开区间并且AcU1}≤m()+26 由于E>0是任意的,故(2)成立■ L可测集与L测度的逼近我们知道G型集和F型集都是 Borel集,当然也是L可 测集.下面我们进一步考察L可测集的构造 定理6设A为R中的L可测集.则 (i)对任意E>0,存在开集GA,使得m(G-A)0,存在闭集FcA,使得m(A-F)<E.若 m(A)<+∞,则F可以取为是有界闭集 (i)l在G。型集G→A,使得m(G-A)=0 (iv)存在F型集FcA,使得m(A-F)=0 证明(i)先设m(A)<+∞.由定理5,存在一列覆盖A开方体{ln}使得 ∑|卩n<m(4) 令G=U1n,则G为开集,G二A并且 m(G)s∑m(1n)=∑|n<m(A)+6 于是得到 mG-A)=m(G)-m(a)<a 现在设m(4)=+0设{E}一列互不相交的L可测集,使得m(E)<+并且R"=UE 令A=A∩E1,121.则m(A)<+∞并且A=UA,.由上面所证的结果,对每个,存在 开集GA,使得mG-4)<5,令G=UG,则G是开集,GA由于
58 ( ) ( ) ( ) 2 . 1 1 1 ≤ = ≤ + ε ≤ + ε ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ m A ∑m I ∑ I ∑ A m A i i i i i i 在上式里对 A 的所有有界开方体的覆盖取下确界得到 ( ) inf :{ } ( ) 2ε 1 1 , ≤ + ≤ ⊂ ∗ ∞ = ∞ = ∗ m A ∑ I I A I m A i i i i i 是一列有界开区间 并且 ∪ . 由于ε > 0是任意的, 故(2)成立.■ L 可测集与 L 测度的逼近 我们知道Gδ型集和 Fσ型集都是 Borel 集, 当然也是 L 可 测集. 下面我们进一步考察 L 可测集的构造. 定理 6 设 A 为 n R 中的 L 可测集. 则 (i).对任意ε > 0, 存在开集G ⊃ A, 使得m(G − A) 0, 存在闭集 F ⊂ A, 使 得 m(A − F) < ε. 若 m(A) < +∞, 则 F 可以取为是有界闭集. (iii).存在Gδ型集 G ⊃ A, 使得m(G − A) = 0. (iv).存在 Fσ型集 F ⊂ A, 使得m(A − F) = 0. 证明 (i).先设 m(A) < +∞. 由定理 5, 存在一列覆盖 A 开方体{ }n I 使得 ( ) . 1 ∑ < + ε ∞ = I m A n n 令 , 1 ∪ ∞ = = n n G I 则 G 为开集, G ⊃ A并且 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ≤ ∑ = ∑ < + ε ∞ = ∞ = m G m I I m A n n n n 于是得到 m(G − A) = m(G) − m(A) < ε. 现在设 m(A) = +∞ . 设{ } Ei 一列互不相交的L可测集, 使得 m(Ei) < +∞ 并且 n R ∪ ∞ = = i 1 Ei . 令 A = A ∩ E , i ≥ 1. i i 则 m(Ai) < +∞并且 . 1 ∪ ∞ = = i A Ai 由上面所证的结果, 对每个i , 存在 开集 . 2 , ( ) Gi Ai m Gi Ai i ⊃ 使得 − < ε 令 . 1 ∪ ∞ = = i G Gi 则 G 是开集, G ⊃ A. 由于
G-A=UG, -UA, CUG -4) 我们有m(G-A)≤∑m(G-A1)0,存在有限个开区间的
59 ( ), 1 1 1 ∪ ∪ ∪ ∞ = ∞ = ∞ = − = − ⊂ − i i i i i i G A Gi A G A 我们有 ( ) ( ) . 1 − ≤ ∑ − 0,存在有限个开区间的
并集U,使得m(A△U)0,存在开集G3A,使得m(G-A)<5.由直线上开 集的构造定理,存在一列互不相交的开区间{a,b)使得G=U(ab)由于 m(A)<+0知道m(G)<+.于是∑(b-a,)=m(G)<+因此可以取n足够大使得 ∑(-a)<2,令U=Ua,,则mG-)<2我们得到 m(A△U)=m(A-U)+m(-A) ≤m(G-U)+m(G-A)<x+=E 下面的定理8表明 Lebesgue测度具有平移不变性,其证明留作习题 定理8设A是R"中的L可测集,x∈R",则x0+A是L可测集并且 m(xo +A)=m(a) 其中x+A={xa+x:x∈A Lebesgue-Stieltjes测度下面讨论 Lebesgue测度的推广即 Lebesgue-Stieltjes测度.我们 仅讨论R的情形 设F是定义在R上的单调增加的右连续实值函数令 ={4=U(an,b]:(a1b…(a,b再互不相交k21} 则是一个环(见13例3)对任意A∈R,若A的一个分解式为A=∪(a,b1则令 H(4)=∑(F(b)-F(a) (7) 则yF是定义在上的非负值集函数类似于定理2的证明,可以证明山是上的测度 设是由Hp导出的外测度,R是H可测集的全体所成的a-代数,由22定理5 是”上的测度,称之为由F导出的 Lebesgue-Stieltjes测度,简称为LS测度.今后将延 拓后的测度仍记为4F由§22定理10,宋关于测度F是完备的由§22定理5 (R)=a(R)cR.因此山至少在f(R)有定义,显然 Lebesgue测度m就是 Lebesgue-Stieltjes测度H当F(x)=x时的情形 由LS测度的定义,对直线上的每个有界左开右闭区间(an,b],有
60 并集U , 使得m(A∆U) 0, 存在开集G ⊃ A, 使得 . 2 ( ) ε m G − A < 由直线上开 集的构造定理 , 存在一列互不相交的开区间 {( , )} ai bi 使 得 ( , ). 1 ∪ ∞ = = i G ai bi 由 于 m(A) < +∞ 知道 m(G) < +∞. 于是 ( ) ( ) . 1 ∑ − = < +∞ ∞ = b a m G i i i 因此可以取 n 足够大使得 . 2 ( ) 1 ε ∑ − < ∞ i=n+ bi ai 令 ( , ), 1 ∪ n i U ai bi = = 则 . 2 ( ) ε m G −U < 我们得到 .. 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε ≤ − + − < + = ∆ = − + − m G U m G A m A U m A U m U A ■ 下面的定理 8 表明 Lebesgue 测度具有平移不变性, 其证明留作习题. 定理 8 设 A 是 n R 中的 L 可测集, x0 ∈ n R , 则 x0 + A 是 L 可测集并且 ( ) ( ). m x0 + A = m A 其中 { : }. x0 + A = x0 + x x ∈ A Lebesgue-Stieltjes 测度 下面讨论 Lebesgue 测度的推广即 Lebesgue-Stieltjes 测度. 我们 仅讨论 1 R 的情形. 设 F 是定义在 1 R 上的单调增加的右连续实值函数. 令 { ( , ]: ( , ], ,( , ] , 1}. 1 1 1 = = ≥ = A a b a b a b k k k k i R ∪ i i " 互不相交 则R 是一个环(见§1.3 例 3). 对任意 A∈ R ,若 A 的一个分解式为 ( , ], 1 ∪ k i A ai bi = = 则令 ( ) ( ( ) ( )). 1 ∑= = − k i µ F A F bi F ai (7) 则 µ F 是定义在R 上的非负值集函数. 类似于定理 2 的证明, 可以证明 µ F 是R 上的测度. 设 ∗ µ F 是由 µ F 导出的外测度, ∗ R 是 ∗ µ F 可测集的全体所成的 σ −代数 . 由§2.2 定理 5, ∗ µ F 是 ∗ R 上的测度, 称之为由 F 导出的 Lebesgue-Stieltjes 测度, 简称为 L-S 测度. 今后将延 拓后的测度 ∗ µ F 仍记为 µ F . 由§2.2 定理 10, ∗ R 关于测度 µ F 是完备的. 由§2.2 定理 5, ( ) = 1 B R σ (R ) ⊂ ∗ R . 因此 µ F 至少在 ( ) 1 B R 有定义. 显然 Lebesgue 测度 m 就是 Lebesgue-Stieltjes 测度 µ F 当 F(x) = x 时的情形. 由 L-S 测度的定义, 对直线上的每个有界左开右闭区间(a,b], 有
ur(a, b=F(b) (上式的物理意义是,如果F(x)表示分布在区间(-∞,x]上的质量,则p(a,b])表示分布 在区间(a,b上的质量).利用(8)式和测度的性质,容易计算出其它类型的区间、有限集和可 数集的L-S测度 0当x<1, 例4设F(x)={2当≤x<2,则F(x)是单调增加的右连续函数.计算 x2当x≥2 (0,1),p2(0,+∞)和pF({l}) 解利用测度的下连续性和可减性,我们有 (O.1)=p(U0,1-1)=im(0,1-1 limn(F(1-)-F(0)=0 H2(0,+∞)=(U(0,n])=im(0,m)=im(n2-0)=+0 F({1)=4(0,1)-1(0,1)=F(1)-F(0)-0=2 Lebesgue不可测集最后我们给出一个 Lebesgue不可测集的例子 例5 Lebesgue不可测集的例对任意x,y∈[01,若x-y是有理数,则记为x~y 容易验证关系“~”是区间[0,1上的一个等价关系.因此这个等价关系“”将[O,1分成一些互 不相交的等价类.根据 Zermelo选取公理,存在[01的一个子集E,使得E与每个等价类只 交于一点.我们证明E不是L可测的 设{n}是[-1中的有理数的全体对每个n,令En=Fn+E.则集列{En}具有如下 性质 (1).当m≠n时,En∩En=∞.若不然,设x∈Em∩En,则x-rm∈E, x-n∈E.由于x-rm-(x-n)=-rm是有理数,因此x-rm和x-n属于同一等价 类.但x-rm≠x-n这样E就包含了同一等价类中的两个不同的元,这与E的性质矛盾 因此E.∩E.=② (2)成立如下包含关系 Ol=∪Enc[-12
61 ((a,b]) F(b) F(a). µ F = − (8) (上式的物理意义是, 如果 F(x)表示分布在区间(−∞, x]上的质量, 则 ((a,b]) µ F 表示分布 在区间(a,b]上的质量). 利用(8)式和测度的性质, 容易计算出其它类型的区间、有限集和可 数集的 L-S 测度. 例 4 设 ≥ ≤ < < = . 2 2 1 2, 0 1, ( ) 2 x x x x F x 当 当 当 则 F(x) 是单调增加的右连续函数 . 计 算 ((0, 1)), µ F ((0, + ∞)) µ F 和 ({1}). µ F 解 利用测度的下连续性和可减性, 我们有 ) (0)) 0. 1 lim( (1 ] ) 1 ]) lim ((0 ,1 1 ((0, 1)) ( (0 ,1 1 = − − = = − = − →∞ →∞ ∞ = F n F n n n F n n µ F µ F ∪ µ ((0, )) ( (0 , ]) lim ((0, )) lim( 0) . 2 1 + ∞ = = = − = +∞ →∞ →∞ ∞ = n n n n F n n µ F µ F ∪ µ ({1}) = ((0, 1]) − ((0, 1)) = F(1) − F(0) − 0 = 2. µ F µ F µ F Lebesgue 不可测集 最后我们给出一个 Lebesgue 不可测集的例子.. 例 5 Lebesgue 不可测集的例. 对任意 x, y ∈[0,1], 若 x − y 是有理数, 则记为 x ~ y. 容易验证关系“~”是区间[0,1]上的一个等价关系. 因此这个等价关系“~”将[0,1]分成一些互 不相交的等价类. 根据Zermelo选取公理, 存在[0,1]的一个子集 E, 使得 E 与每个等价类只 交于一点. 我们证明 E 不是 L 可测的. 设{ }nr 是[−1,1]中的有理数的全体. 对每个 n, 令 E r E. n = n + 则集列{ } En 具有如下 性质: (1). 当 m ≠ n 时 , ∩ = ∅. Em En 若不然 , 设 , Em En x ∈ ∩ 则 x r E, − m ∈ x r E. − n ∈ 由于 m n n m x − r − (x − r ) = r − r 是有理数, 因此 m x − r 和 n x − r 属于同一等价 类. 但 . m n x − r ≠ x − r 这样 E 就包含了同一等价类中的两个不同的元. 这与 E 的性质矛盾! 因此 ∩ = ∅. Em En (2). 成立如下包含关系: [0,1] [ 1,2]. 1 ⊂ ⊂ − ∞ = ∪ n En
事实上,设x∈[0,1由E的性质,E应包含x所在的等价类中的某一元y.由于x和y在 同一等价类中,故r=x-y是一有理数.由于-1≤r≤1,故r是{rn}中的某一数,设 r=rn,则x=n+y∈En,因此0]cUEn至于包含关系∪Enc[-12是显然的 现在用反证法,假定E是L可测的.由定理8,每个En是L可测的,并且 m(En)=m(E).由测度的可数可加性,我们有 m( E)=2m(E, )=mE, s m(-1 2) 故必须m(E)=0.于是m(UEn)=0.但另一方面由于[0cUEn,应有1≤m(UEn) 这样就导致矛盾.因此E不是L可测的 小结本节利用§22中一般测度的构造方法,建立了R”上的 Lebesgue测度. Lebesgue 测度是长度,面积和体积概念的推广, Lebesgue测度能对更多的集即可测集给出度量 Lebesgue可测集包含了常见的一些集,但仍存在不可测集由于R是具有丰富的结构的空 间,因此R"上的 Lebesgue测度具有一些一般测度不具有的性质如利用开集或闭集的逼近 性质等 Lebesgue-Stieljes测度是 Lebesgue度的推广,充分利用几何直观,可以帮助理解本节 的内容 习题习题二,第17题一第37题
62 事实上, 设 x ∈[0,1]. 由 E 的性质, E 应包含 x 所在的等价类中的某一元 y. 由于 x 和 y 在 同一等价类中, 故 r = x − y 是一有理数. 由于 −1 ≤ r ≤ 1, 故 r 是{ }nr 中的某一数, 设 . n0 r = r 则 . n0 n0 x = r + y ∈ E 因此[0,1] . 1 ∪ ∞ = ⊂ n En 至于包含关系 [ 1,2] 1 ⊂ − ∞ = ∪ n En 是显然的. 现在用反证法. 假定 E 是 L 可测的. 由定理 8, 每个 En 是 L 可测的, 并且 m(E ) m(E). n = 由测度的可数可加性, 我们有 ( ) ( ) ([ 1,2]) 3. 1 1 1 ≤ − = = = ∞ = ∞ = ∞ = ∑m E ∑m E m E m n n n n n ∪ 故必须 m(E) = 0.于是 ( ) 0. 1 = ∞ = ∪ n m En 但另一方面由于[0,1] , 1 ∪ ∞ = ⊂ n En 应有1 ( ). 1 ∪ ∞ = ≤ n m En 这样就导致矛盾. 因此 E 不是 L 可测的. 小 结 本节利用§2.2 中一般测度的构造方法, 建立了 n R 上的 Lebesgue 测度. Lebesgue 测度是长度, 面积和体积概念的推广. Lebesgue 测度能对更多的集即可测集给出度量. Lebesgue 可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集.由于 n R 是具有丰富的结构的空 间, 因此 n R 上的 Lebesgue 测度具有一些一般测度不具有的性质.如利用开集或闭集的逼近 性质等.Lebesgue-Stieljes 测度是 Lebesgue 度的推广.充分利用几何直观, 可以帮助理解本节 的内容. 习 题 习题二, 第 17 题—第 37 题
