《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续(左、右连续)与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A.极限的求法 (1)用定义求 (2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法 (5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法 (7)洛必达法则与 Taylor级数法 (8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)
《高等数学复习》教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法 （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与 Taylor 级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
I lim arctan x-x arctanx-x =lim h(1+2x3) =-6(分小句必达 2已知lm56x+x(x)=0,求m+(x) x->0 6x+xf(x) =lm cos 6x+f(x)+x 解: =lm 36sin 6x+ 2y+xy = lim 216cos 6x+3y+xy 6 216+3y”(0) 0∴.y(0)= 6+f(x) y x-90x2x-02xx>02=36(溶必达) lim =lim==lim 3.im( -1(重要极限 4已知a、b为正常数,求lm( 解:令=(b3 )x,hnt=-[(a2+b2)-h2] lim In t= lim (a In a+bhn b)==hn( ab) b 变量聲换) 5. Iim(cos x 解:令t=(0x)+x),ht= ln(1+x2) In(cos x) lim In t= lim 2x-21=e2(变量参换 -tan x 1 f(dt 6设∫(x)连续,f(0)=0,f(0)≠0,求lm (洛必达与微积分性质) )x2,x≠0 7已知f(x) 在x=0连续,求 a.x 解:令a=lmh(cosx)/x2=-1/2(连续性的概念)
1. 6 1 2 arctan lim ln(1 2 ) arctan lim 3 0 3 0 = − − = + − − − x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知 2 0 3 0 6 ( ) 0 lim sin 6 ( ) lim x f x x x xf x x x + = + − − ，求 解： 2 0 3 0 3 6cos6 ( ) ' lim sin 6 ( ) lim x x f x x y x x x f x x x + + = + − − 0 ''(0) 72 6 216 3 ''(0) 6 216cos6 3 '' ''' lim 6 36sin 6 2 ' '' lim 0 0 = = − + = − + + = − + + = − − y y x y x y x x y x y x x 36 2 72 2 '' lim 2 ' lim 6 ( ) lim 0 0 2 0 = = = = + − − − y x y x f x x x x （洛必达） 3. 1 2 1 ) 1 2 lim ( − − + x x x x x （重要极限） 4.已知 a、b 为正常数， x x x x a b 3 0 ) 2 lim ( + − 求 解：令 [ln( ) ln 2] 3 ) ,ln 2 ( 3 = + − + = x x x x x a b x t a b t 3/ 2 0 0 ( ) ln( ) 2 3 ( ln ln ) 3 lim ln lim t ab a a b b ab a b t x x x x x x = + = + = − − （变量替换） 5. ln(1 ) 1 0 2 lim (cos ) x x x + − 解：令 ln(cos ) ln(1 ) 1 (cos ) ,ln 2 ln(1 ) 1 2 x x t x t x + = = + 1/ 2 0 0 2 1 2 tan lim ln lim − − − = − = − = t e x x t x x （变量替换） 6.设 f '(x) 连续， f (0) = 0, f '(0) 0 ，求 1 ( ) ( ) lim 0 2 0 0 2 = − x x x x f t dt f t dt （洛必达与微积分性质） 7.已知 = = − , 0 ln(cos ) , 0 ( ) 2 a x x x x f x 在 x=0 连续，求 a 解：令 lim ln(cos )/ 1/ 2 2 0 = = − − a x x x （连续性的概念）
三、补充习题(作业) 12x=o=3(经) 2. lim ctx( )(溶必达成 Taylor) dh 1(溶必达与微积分性质) 第二讲导数、微分及其应用 、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程 2微分中值定理理解 Roll, Lagrange、 Cauchy、 Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径) 二、题型与解法 A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 2y=y(x)由h(x2+y)=x3y+snx决定,求 dy 解:两边微分得x=0时y= cost=y,将x=0代入等式得y=1 3y=y(x)由2=x+y决定,则dl=0=(h2-1)dtx B曲线切法线问题4求对数螺线尸=e在(p,0)=(e21,m/2)处切线的直角坐标方程。 x=e cos e 解 (0.,e12),y sin e =-X 5f(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+0(x)。求fx)在(6,f(6))处的切线方程
三、补充习题（作业） 1. 3 1 cos 1 lim 0 = − − − − − − x x e x x x （洛必达） 2. ) 1 sin 1 lim ( 0 x x ctgx x − − （洛必达或 Taylor） 3. 1 1 lim 2 2 0 0 = − − − − x x t x e x e dt （洛必达与微积分性质） 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1. − + = = = 2 5 arctan ( ) 2 t y ty e x t y y x 由 决定，求 dx dy 2. y y(x) ln( x y) x y sin x 2 3 = 由 + = + 决定，求 | x=0 = 1 dx dy 解：两边微分得 x=0 时 y' = y cos x = y ，将 x=0 代入等式得 y=1 3. y y x x y xy = ( )由2 = + 决定，则 dy dx x | (ln 2 1) =0 = − B.曲线切法线问题 4.求对数螺线 , / 2) / 2 = e 在（ ， ）=（e 处切线的直角坐标方程。 解： ,( , ) | (0, ), '| 1 sin cos / 2 / 2 / 2 = = − = = = = x y e y y e x e y − e = −x / 2 5.f(x) 为周期为 5 的 连 续 函 数 ， 它 在 x=1 可 导 ， 在 x=0 的 某 邻 域 内 满 足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（6，f(6)）处的切线方程
解:需求f(6),f(6或f(1),厂(1),等式取x>0的极限有:() lim /(+ sin x)-3/(l-sin x) sinter Im f(1+1)-f(1)2f(1-0)-f(1) 4厂(1)=8∴f(1) y=2(x C导数应用问题6已知y=f(x)对一切x满足xf'(x)+2x/(x)2=1-e 若(x)=0(x≠0),求(x0,y)点的性质 解:令x=x0代入,f"(x0) 0,x>0 >0x0<0 故为极小值点 7.y= ,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 (x-1)2 解:定义域x∈(-∞,1)∪(1 y=0→驻点x=0及x=3 y=0→拐点x=0;x=1:铅垂:y=x+2:斜 8求函数y=(x-1)e12+mx的单调性与极值、渐进线 →驻点x=0与x=-1,渐: (x-2)与 D.幂级数展开问题d sim(x-t sin x (2n+1)! 4n-1 (4n-1)(2n+1) 4n-1 (4n-1)(2n+1) 1)2dt (2n+1) 或:x-t=u= dr sin u(-du)=d sin lt 10求f(x)=x2h(1+x)在x=0处的m阶导数f(O)
解：需求 f (6), f '(6)或f (1), f '(1) ，等式取 x->0 的极限有：f(1)=0 4 '(1) 8 '(1) 2 2( 6) ] (1 ) (1) 3 (1 ) (1) lim[ sin (1 sin ) 3 (1 sin ) lim 0 sin 0 = = = = − − − + + − = + − − − = − f f y x t f t f t f t f x f x f x t x t x C.导数应用问题 6.已知 x y f x x xf x x f x e − = ( ) ''( ) + 2 [ '( )] =1− 对一切 满足 2 ， '( ) 0( 0) 若f x0 = x0 ，求 ( , ) 0 0 x y 点的性质。 解：令 = = = − 0, 0 0, 0 ''( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 x x e x e x x f x x x 代入， ，故为极小值点。 7. 2 3 ( −1) = x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域 x (−,1) (1,+) 拐点 ； ：铅垂； ：斜 驻点 及 '' 0 0 1 2 ' 0 0 3 = = = = + = = = y x x y x y x x 8.求函数 x y x e / 2 arctan ( 1) + = − 的单调性与极值、渐进线。 解： 0 1 1 ' / 2 arctan 2 2 = = − + + = + e x x x x x y x 驻点 与 ，渐：y = e (x − 2)与y = x − 2 D.幂级数展开问题 9. − = x x t dt x dx d 0 2 2 sin( ) sin + = + − = − + + − + − + − = − + + − − + − − = − − + − + + − + + − − = − − − + + − − − − + − x n n n n x n n n n x n x x t dt x x dx d n n x x t x x n n x t x t dt x t x t n x t x t x t x t 0 2 2(2 1) 2 2 6 4 1 3 7 0 2 4 1 2 3 7 1 2(2 1) 2 2 6 sin (2 1)! ( 1) 3! 1 sin( ) (4 1)(2 1)! ( 1) 3!7 1 3 1 sin( ) (4 1)(2 1)! ( ) ( ) ( 1) 3!7 1 ( ) 3 1 sin( ) (2 1)! ( ) ( ) ( 1) 3! 1 sin( ) ( ) 或： 2 0 2 0 2 sin ( ) sin u du sin x dx d u du dx d x t u x x − = − = = 10.求 ( ) ln(1 ) 0 (0) 2 (n) f x = x + x 在x = 处的n阶导数f
解:x2hn(1 +o(x 2 E不等式的证明 (0,1),求证(1+x)h2(+x) 1)令g(x)=(1+x)hn2(1+x)-x2,g(0)=0 g'(x),g"(x)g"(x) 2n(1+x) <0,g(0)=g"(0)=0 x∈(01)时g"(x)单调下降,g"(x)<0,g(x)单调下降 g(x)<0,g(x)单调下降,g(x)<0;得证。 (0,1),H(x)<0,单调下降,得证 In(1+x) F中值定理问题 12设函数f(x)在-1]具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1, ∫(0)=0,求证:在(-1,1)上存在一点5,使f"()=3 f(x)=f(0)+f(0)x+f'(0)x2+f"(m) 其中∈(0,x),x∈[-1,1 0=f(-1)=f(0)+f(0) 将x=1,x=1代入有 f(1)=f(0)+f"(0)+f"(72) 两式相减:f"(n)+f"(72)=6 3∈[7,n2lf"(s)==[f"()+f"(72)=3 e<a<b<e2,求证:h2b-h2a 证: Lagro ∫(b)-f( ∫(5) In-6-hn 2In 令f(x)=hn
解： ( ) 2 ( 1) 2 3 ln(1 ) ( 2 2 1 2 3 2 2 − − − + − + = − + − + − n n n o x n x x x x x x x = ( ) 2 ( 1) 2 3 1 4 5 3 n n n o x n x x x x + − − + − + − − 2 ! (0) ( 1) ( ) 1 − = − − n n f n n E.不等式的证明 11.设 x(0,1) ， 2 1 1 ln(1 ) 1 1 ln 2 1 1 )ln (1 ) 2 2 − + + + − x x 求证（ x x x ， 证：1）令 ( ) (1 )ln (1 ) , (0) 0 2 2 g x = + x + x − x g = 单调下降， ；得证。 时 单调下降， 单调下降 '( ) 0, ( ) ( ) 0 (0,1) ''( ) ''( ) 0, '( ) 0, '(0) ''(0) 0 (1 ) 2ln(1 ) '( ), ''( ), '''( ) 2 = = + + = − g x g x g x x g x g x g x g g x x g x g x g x 2）令 , (0,1), '( ) 0,单调下降，得证。 1 ln(1 ) 1 ( ) − + = x h x x x h x F.中值定理问题 12.设函数 f (x)在[−1，1] 具有三阶连续导数，且 f (−1) = 0, f (1) = 1， f '(0) = 0 ，求证：在（-1，1）上存在一点 ，使f '''() = 3 证： 2 3 '''( ) 3! 1 ''(0) 2! 1 f (x) = f (0) + f '(0)x + f x + f x 其中 (0, x), x[−1,1] 将 x=1，x=-1 代入有 '''( ) 6 1 ''(0) 2 1 1 (1) (0) '''( ) 6 1 ''(0) 2 1 0 ( 1) (0) 2 1 f f f f f f f f = = + + = − = + − 两式相减： f '''(1 ) + f '''(2 ) = 6 [ '''( ) '''( )] 3 2 1 [ ] '''( ) 1，2 ， f = f 1 + f 2 = 13. 2 e a b e ，求证： ( ) 4 ln ln 2 2 2 b a e b − a − 证： '( ) ( ) ( ) : f b a f b f a Lagrange = − − 令 ln ln 2ln ( ) ln , 2 2 2 = − − = b a b a f x x
令(=hn,o(o)=1-h9(e):如>2 (关键:构造函数) 、补充习题(作业) f(x=h ,求y(O) x=e sin 2t 2曲线 在(0,1)处切线为y+2x-1=0 y=e coS 2t 3y=xh(e+4x>0的渐进线方程为y=x+1 4证明x>0时(x2-1)hx≥(x-1)2 证:令g(x)=(x2-1)hx-(x-1)2,g'(x),g"(x),g"'( g(1)=g'(1)=0,g"(1)=2>0 (1gg2=g20=10Dkg2 x∈(1,∞)2g>0 第三讲不定积分与定积分 理论要求 1不定积分 掌握不定积分的概念、性质(线性、与微分的关系) 会求不定积分(基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部) 2定积分 理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题(长、面、体) 会用定积分求物理问题(功、引力、压力)及函数平均值 题型与解法 A.积分计算 x-2 arcsin 1)2dx dx+2 etan xdx=e2mtanx+C
令 2 2 2 ln 2 0 ( ) ( ) 1 ln , '( ) ln ( ) e e t t t t t t − = = ( ) 4 ln ln 2 2 2 b a e b − a − （关键：构造函数） 三、补充习题（作业） 1. 2 3 , ''(0) 1 1 ( ) ln 2 = − + − = y x x f x 求 2.曲线 (0,1) 2 1 0 cos 2 sin 2 + − = = = y x y e t x e t t t 在 处切线为 3. e x y x x y x e 1 )( 0) 1 = ln( + 的渐进线方程为 = + 4.证明 x>0 时 2 2 (x −1)ln x (x −1) 证：令 3 2 2 2 2( 1) ( ) ( 1)ln ( 1) , '( ), ''( ), '''( ) x x g x x x x g x g x g x − = − − − = g(1) = g'(1) = 0，g''(1) = 2 0 0 (1, ), ' 0 (0,1), ' 0 '' 0 (1, ), ''' 0, '' 2 (0,1), ''' 0, '' 2 + g x g x g g x g g x g g 第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分 理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题（长、面、体） 会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值 二、题型与解法 A.积分计算 1. + − = − − = − C x x dx x x dx 2 2 arcsin (4 ) 4 ( 2) 2 2. e x + dx = e xdx + e xdx = e x + C x x x x (tan 1) sec 2 tan tan 2 2 2 2 2 2
3设/(以)h(1+x),求[f(x)dh 解:[f( )dx-r hn(1+e2) )ax=x-(1+e)ln(1+e2)+C arctan x x arctan x +lin B积分性质 5.f(x)连续,o(x)=f(xn),且f(x) A,求q(x)并讨论p(x)在x=0的连 ∫(y) 解:f(0)=(0)=0,y=x1→(x)= fo f∫(y) A q'(x) (0=2mo(0)=412=0 6.f(x2-t2)d 2dx Jo j(r-t )d((2-x) f(()=xf(x) d C.积分的应用 7设f(x)在0,1连续,在(0,1)上f(x)>0,且xf(x)=f(x)+x2,又f(x) 与x=1,y=0所围面积S=2。求f(x),且a=?时S绕x轴旋转体积最小 d f(x) ()2x2+arC/(=2:c=-a f(x) +(4-1x:F=(zy2dxy=0 8曲线y=√x-1,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的 表面积。 解:切线y=x/2绕x轴旋转的表面积为2=5x 曲线y=√x-1绕x轴旋转的表面积为∫27=g(5√5-1 总表面积为(115-1) 三、补充习题(作业) In sin x dx=-cot x In sin 2x-cotx-x+c
3.设 x x f x ln(1 ) (ln ) + = ，求 f (x)dx 解： + = dx e e f x dx x x ln(1 ) ( ) = − + + + + = + + − − − dx x e e C e e e e x x x x x x ) (1 )ln(1 ) 1 ln(1 ) (1 4. − = + + = − + − 1 1 2 1 2 ln 2 2 1 4 ) 1 1 arctan | lim ( arctan 1 b b dx x x x x x dx x x B.积分性质 5. f (x) 连续， = 1 0 (x) f (xt)dt ,且 A x f x x = − ( ) lim 0 ，求 (x) 并讨论 '(x) 在 x = 0 的连 续性。 解： x f y dy f y x t x x = = = = 0 ( ) (0) (0) 0, ( ) lim '(0) / 2 '(0) 2 '(0) ( ) ( ) '( ) 0 2 0 = = = − = − A A x x f x f y dy x x x 6. − = − − − x x f x t d t x dx d tf x t dt dx d 0 2 2 2 2 0 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 f y d y xf x dx d x = = C.积分的应用 7.设 f (x) 在[0，1]连续，在（0，1）上 f (x) 0 ，且 2 2 3 '( ) ( ) x a xf x = f x + ，又 f (x) 与 x=1,y=0 所围面积 S=2。求 f (x) ，且 a=?时 S 绕 x 轴旋转体积最小。 解： = = + = = − 1 0 2 ( ) 2 4 2 3 ( ) 2 3 ) ( ) ( x cx f x dx c a a f x a x f x dx d = + − = = = − 1 0 2 2 (4 1) ' ( )' 0 5 2 3 ( ) x x V y dx a a f x 8.曲线 y = x −1 ，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转的 表面积。 解：切线 y = x / 2 绕 x 轴旋转的表面积为 2 5 2 0 = yds 曲线 y = x −1 绕 x 轴旋转的表面积为 (5 5 1) 6 2 2 1 = − yds 总表面积为 (11 5 1) 6 − 三、补充习题（作业） 1. dx = − x x − x − x + C x x cot ln sin 2 cot sin ln sin 2
x+5 6x+13 3. arcsin 第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何 、理论要求 1向量代数 理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模) 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3多元微分应用理解多元函数极值的求法,会用 Lagrange乘数法求极值 4空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 二、题型与解法 A.求偏导、全微分 1.f(x)有二阶连续偏导,z=f(esny)满足=x+=m=ez,求∫(x) 解:f"-f=0→f(u)=ce"+c2e 2二=-f(xy)+yq(x+y,求 3.y=y(x),z=x(x)由=xf(x+y),F(x,y,2)=0决定,求d/dx B空间几何问题 4求√x+√y+√==a上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。 解:x/ 5曲面x2+2y2+3z2=21在点(1-2,2)处的法线方程。 C.极值问题 6设=x(x,y)是由x2-6xy+10y2-2y=-2+18=0确定的函数,求z=(x,y)的 极值点与极值。 补充习题(作业) f(xy,-)+g(),求 ay
2. − + + dx x x x 6 13 5 2 3. dx x arcsin x 第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何 一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用 Lagrange 乘数法求极值 4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 二、题型与解法 A.求偏导、全微分 1. f (x) 有二阶连续偏导， z f (e sin y) x = 满足 z z e z x xx yy '' '' 2 + = ，求 f (x) 解： u u f f f u c e c e − − = = 1 + 2 '' 0 ( ) 2. x y z f xy y x y x z = + + 2 ( ) ( ) 1 ，求 3. y = y(x),z = z(x)由z = xf(x + y),F(x, y,z) = 0决定 ，求 dz/ dx B.空间几何问题 4.求 x + y + z = a 上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。 解： x / x0 + y / y0 + z/ z0 = a d = a 5.曲面 2 3 21 2 2 2 x + y + z = 在点 (1,−2,2) 处的法线方程。 C.极值问题 6.设 z = z(x, y) 是由 6 10 2 18 0 2 2 2 x − xy+ y − yz − z + = 确定的函数，求 z = z(x, y) 的 极值点与极值。 三、补充习题（作业） 1. x y z x y g y x z f xy = + 2 ( , ) ( ),求
2.z=f(xy,-+g(),求 az 3.=n,=h√x2+y,o= arctan2,求 第五讲多元函数的积分 、理论要求 1.重积分 熟悉二、三重积分的计算方法(直角、极、柱、球) d x ∫(x,y)dd do. f(r,O)rdr dx.dy f(x, y, =d= (xy,=) peef(r,0,=)rdr de dp f(r, 0, )r sin dr ol(0) 会用重积分解决简单几何物理问题(体积、曲面面积、重心、转动惯量) =f(x,y)→A=、+=:+h 2曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系,掌握两类曲线积分的计算方法 x)→|f(x,y(x)√l+y Ss(x, y)d= L ∫x=x() y=形(0y)x+yh L: r=r(0)=f(coso, rsin 0)vr2+r 2d0 熟悉 Green公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件 3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念(质量、通量)、关系 熟悉 Gauss与 Stokes公式,会计算两类曲面积分 I=)()s=JDn/(xy2(xy)+:+: Gams:乐E:dS=v,Ed(通量,散度) Soe:5Fd=j(vxF)ds(旋度) 题型与解法 重积分计算 1=(x+M为平面曲线122绕乙轴转周与一s的围域 x=0 I= S dill.dg, (x'+y2)drdy=n d=f de b 1024丌
2. x z x y g y x z f xy = ( , + ( )),求 3. dz x y z = u ,u = ln x 2 + y 2 , = arctan ,求 第五讲 多元函数的积分 一、理论要求 1.重积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球） = D r r b a y x y x d f r rdr dx f x y dy f x y dxdy 2 1 2( ) 1( ) 2( ) 1( ) ( , ) ( , ) ( , ) = V r r z z z z r z r z b a y x y x z x y z x y d d f r r dr dz d f r z rdr dx dy f x y z dz f x y z dxdydz 2( ) 1( ) 2( , ) 1( , ) 2 2 1 2( ) 1( ) 2( , ) 1( , ) 2( ) 1( ) 2( , ) 1( , ) ( , , ) sin ( , , ) ( , , ) ( , , ) 会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量） = = + + D z f x y A z x z y dxdy 2 2 ( , ) 1 ' ' 2.曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法 = + + = = = + = L t t b a x L r r f r r r r d f x t y t x y dt y y t x x t L L y y x f x y x y dx f x y dl 2 2 2 2 2 : ( ) ( cos , sin ) ' ( ( ), ( )) ' ' ( ) ( ) : : ( ) ( , ( )) 1 ' ( , ) 熟悉 Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件 3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉 Gauss 与 Stokes 公式，会计算两类曲面积分 = = = + + = L S S V Dxy x y S z z x y Stokes F dr F dS Gauss E dS EdV f x y z dS f x y z x y z z dxdy 旋度） 通量，散度） : ( ) ( : ( ( , , ) ( , , ( , )) 1 ' ' 2 2 : ( , ) 二、题型与解法 A.重积分计算 1. = + ( ) , 2 2 I x y dV 为平面曲线 = = 0 2 2 x y z 绕 z 轴旋转一周与 z=8 的围域。 解： 3 1024 ( ) 2 0 2 2 0 8 2 0 2 2 8 0 2 2 = + = = + z x y z I dz x y dxdy dz d r rdr
= dxdv,D为 围域 (I=a2 x2y,1≤x≤20≤y≤ 0其f 求山f(x,y),D B曲线、曲面积分4.I=[esny-b(x+y)dr+( e cos)-ax)dh L从4(2a,0)沿 至O(0,0) 解:令L1从O沿=0至A (b-a)dxdy-(-bx)dr 2)a2b 5.I= x L为以(1、0)为中心,R(>1)为半径的圆周正向 x=/cOS 取包含(0.0)的正向L1 0∴ 6对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S, 乐x(x)-x(x)k-e2hh=0,且fx)在x0有连续一阶导数 f(x)=1,求f(x) 解:0=F4s=J1yF=顶((x)+x(x y 第六讲常微分方程 、理论要求 1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法
2. − − + = D dxdy D a x y x y I , 4 2 2 2 2 2 为 ( 0) 2 2 y = −a + a − x a 与 y = −x 围域。 （ ) 2 1 16 ( 2 2 = − I a 3. = 0,其他 ,1 2,0 ( , ) 2 x y x y x f x y ， 求 + D f (x, y)dxdy,D : x y 2x 2 2 (49/20) B.曲线、曲面积分 4. = − + + − L x x I (e sin y b(x y))dx (e cos y ax)dy (2 ,0) 2 (0,0) 2 L从A a 沿y = ax − x 至O 解：令 L1从O沿y = 0至A 2 3 2 0 1 1 2 2) 2 I (b a)dxdy ( bx)dx ( a b a a L L L D = − = − − − = + − + 5. + − = L x y xdy ydx I 2 2 4 , L为以(1,0)为中心，R(1)为半径的圆周正向。 解：取包含(0,0)的正向 = = sin 2 cos 1: y r x r L ， = − = = = − 1 1 1 0 L L L L L L 6.对空间 x>0 内任意光滑有向闭曲面 S， ( ) ( ) 0 2 − − = S x xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy ，且 f (x) 在 x>0 有连续一阶导数， lim ( ) 1 0 = − + f x x ,求 f (x) 。 解： = = = + − − s x 0 F dS FdV ( f (x) xf '(x) xf(x) e )dV 2 ( 1) 1 1) 1 ' ( 2 + − = = − x x x e x e e y x y x y 第六讲 常微分方程 一、理论要求 1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法
