§1.3集类 教学目的本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识本节给出几种在测度论中常见集类介绍了本节集类的知识后将可 以有效简化测度论若千定理的证明 本节要点本节介绍了在测度论常见的几种集类如环代数和代数等 本节介绍的集类较多,应注意理清各个集类之间的相互关系与σ代数相 关的概念及其应用是本节的重点 集类设X为一固定的非空集.以X的一些子集为元素的集称为X上的集类.集类一般 用花体字母如A,B,C等表示.例如,由直线R上开区间的全体所成的集就是R上的一 个集类.本节若无特别申明,均设所考虑的集类都是X上的集类 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类对集类要求不同的运算封闭性就 得到不同的集类本节介绍常见的几种集类,主要包括半环,环,代数和代数.这几种集 类对运算封闭性的要求一个比一个强 I半环与环 定义1设是一集类,若C满足条件 (1)∈C (2)若A,B∈C,则ABC (3)若A,B∈C,则存在C中有限个互不相交的集C1,…,Cn,使得 A-B=UCi i= 则C称为半环 例1设C={(a,b]:-∞<a≤b<+∞}是直线上左开右闭有界区间的全体则C是一 个半环 定义2设R是一个非空集类.若R对并运算和差运算封闭,则称火为环 定理3设R是一个非空集类.则 (1)若对不相交并和差运算封闭,则是环 (2)若是一个环,则∈R并且对交运算封闭 证明由于AUB=A(A-B),故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到.因 18
18 § 1.3 集 类 教学目的 本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识. 本节给出几种在测度论中常见集类. 介绍了本节集类的知识后,将可 以有效简化测度论若干定理的证明. 本节要点 本节介绍了在测度论常见的几种集类,如环,代数和σ -代数等. 本节介绍的集类较多, 应注意理清各个集类之间的相互关系. 与σ -代数相 关的概念及其应用是本节的重点. 集类 设 X 为一固定的非空集. 以 X 的一些子集为元素的集称为 X 上的集类. 集类一般 用花体字母如 A ,B ,C 等表示. 例如, 由直线 1 R 上开区间的全体所成的集就是 1 R 上的一 个集类. 本节若无特别申明, 均设所考虑的集类都是 X 上的集类. 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类. 对集类要求不同的运算封闭性就 得到不同的集类. 本节介绍常见的几种集类, 主要包括半环, 环, 代数和σ -代数. 这几种集 类对运算封闭性的要求一个比一个强. I 半环与环 定义 1 设C 是一集类, 若C 满足条件 (1) ∅ ∈C (2) 若 A, B ∈C , 则A ∩ B ∈C. (3) 若 A, B ∈C , 则存在C 中有限个互不相交的集 , , , C1 " Cn 使得 . 1 ∪ n i A B Ci = − = 则C 称为半环. 例 1 设C = {(a,b]: −∞ < a ≤ b < +∞}是直线上左开右闭有界区间的全体. 则C 是一 个半环. 定义 2 设R 是一个非空集类. 若R 对并运算和差运算封闭, 则称R 为环. 定理 3 设R 是一个非空集类. 则 (1) 若R 对不相交并和差运算封闭, 则R 是环. (2) 若R 是一个环. 则∅ ∈ R 并且R 对交运算封闭 证明 由于 A∪ B = A∪(A− B), 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到. 因
此若对不相交并和差运算封闭,则对并运算也封闭,因而是一个环.设是一个 环.由于非空,故存在A∈.于是=A-A∈.由于 A∩B=(A∪B)-(A-B)∪(B-A) 即交运算可以通过并运算和差运算得到,因此对交运算封闭■ 例2设R={A:A是的有限子集},则是一个环 定理4设C是一个半环令 ={∪c:C1…C属于C并且互不相交k21} (1) 则是一个环.并且是包含C的最小的环 证明显然Cc.由定理3,为证是一个环,只需证明对不相交并和差运算封闭 即可显然界对不相交并算封闭往证对差运算封闭设A=Um4和B=UB 是中任意两个集.则 A∩B=(U4)(B)=U∪(4,∩B) 由于C对交运算,利用上述等式知道对交运算封闭.我们有 A-B=U4-UB=U∩(4-B) 由于C是半环,故A-B可以表示为C中的有限个集的不相交并,因此由的定义知道 A-B∈R.上面已证?对交运算封闭,因此∩(4-B)∈只。由于 {∩=(4-B)1=1…中的集互不相交并且对不相交并运算封闭,由(2)知道 A-B∈界.即对差运算封闭.所以是一个包含C的环.显然若是任意包含C的 环,则,即是包含C的最小的环(图3-1是当C是例1中的半环的情形)■ A2-B2 B A=A1∪A2 B=B1∪B2
19 此若R 对不相交并和差运算封闭, 则R 对并运算也封闭, 因而R 是一个环. 设R 是一个 环. 由于R 非空, 故存在 A∈ R. 于是∅ = A − A∈ R. 由于 A∩ B = (A∪ B) − ((A − B) ∪ (B − A)), 即交运算可以通过并运算和差运算得到, 因此R 对交运算封闭.■ 例 2 设R = {A : A是X的有限子集}, 则R 是一个环. 定理 4 设C 是一个半环. 令 R { : , , , 1}. 1 1 = ≥ = C C C k k k i ∪ i " 属于C 并且互不相交 (1) 则R 是一个环. 并且R 是包含C 的最小的环. 证明 显然C ⊂ R.由定理 3, 为证R 是一个环, 只需证明R 对不相交并和差运算封闭 即可. 显然R 对不相交并算封闭. 往证R 对差运算封闭. 设 1 n i i A A = = ∪ 和 1 n j j B B = = ∪ 是R 中任意两个集. 则 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 1 ∪ ∪ ∪∪ n i m j i j n i i n i A B Ai B A B = = = = ∩ = ∩ = ∩ 由于C 对交运算, 利用上述等式知道R 对交运算封闭. 我们有 ( ). 1 1 1 1 ∪ ∪ ∪∩ n i m j i j m j j n i A B Ai B A B = = = = − = − = − (2) 由于C 是半环, 故 Ai − Bj 可以表示为C 中的有限个集的不相交并, 因此由R 的定义知道 Ai − Bj ∈ R . 上面已证 R 对交运算封闭 , 因 此 1 ( ) m i j j A B = ∩ − ∈ R . 由 于 { } 1 ( ) : 1, , m i j j ABi n = ∩ − = " 中的集互不相交并且 R 对不相交并运算封闭, 由(2)知道 A − B ∈ R . 即R 对差运算封闭. 所以R 是一个包含C 的环. 显然,若R ′ 是任意包含C 的 环,则R ⊂ R ′. 即R 是包含C 的最小的环(图 3—1 是当C 是例 1 中的半环的情形). ■ A1 A2 B1 A1 − B1 B2 A2 − B2 A = A1 ∪ A2 B = B1 ∪ B2
我们称由(1)定义的环为由C生成的环,记为R(C),由定理4知道,R(C)是包含C 的最小的环 ={Ua,b1(,b1(a,b=(≠D,k≥21 由例1和定理4知道是一个环 Il代数与-代数 定义5设4是一个非空集类.若A对并运算和余运算封闭,则称为一个代数 容易知道,集类A是一个代数当且仅当A是一个包含全空间X的环.结合环的运算 封闭性知道,若A是一个代数,则②,X∈,并且A对有限并、有限交、差和余运算封闭 定义6若丌是一个非空集类,满足 (1)若A∈,则4∈ (2)若A∈,n=1,2,…则A,∈丌 则称丌为一个σ-代数(或σ-域) 例4设分={x,则},则是X上的σ-代数,这是X上的最小的σ-代数 例5设(X)是由X的全体子集所成的集类则(X)是一个σ-代数.这是X上的 最大的σ-代数 例6设X是一个无限集令={A:A.或者AC是有限集}.则A是X上的一个代 数.由于4对可数并运算不封闭,因此A不是一个-代数.若令={4:A或者AC 多是可数集}则是X上的一个σ-代数.以上结论的验证留作习题 定理7设是一个σ-代数.则 (1)⑧∈丌,X∈丌 (2)牙对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭 证明由于 An=A1U…UAn∪An 即有限并可以表示成可数并.由于丌对可数并运算封闭,因此丁对有限并运算封闭.因此 丌是代数,由代数的性质知道X,⑧∈牙并且对有限交运算和差运算封闭。由De
20 图 3—1 我们称由(1)定义的环R 为由C 生成的环, 记为R (C ).由定理 4 知道, R (C ) 是包含C 的最小的环. 例 3 设 { ( , ]: ( , ] ( , ] ( ), 1}. 1 = ∩ = ∅ ≠ ≥ = a b a b a b i j k i i j j k i R ∪ i i 由例 1 和定理 4 知道R 是一个环. II 代数与σ -代数 定义 5 设A 是一个非空集类. 若 A 对并运算和余运算封闭, 则称为一个代数. 容易知道, 集类 A 是一个代数当且仅当 A 是一个包含全空间 X 的环. 结合环的运算 封闭性知道, 若 A 是一个代数, 则∅, X ∈ A 并且 A 对有限并、有限交、差和余运算封闭. 定义 6 若F 是一个非空集类, 满足 (1) 若 ∈F , ∈F . c A 则A (2) 若 , 1, 2, , . 1 ∈F = ∈F ∞ = " ∪ n An n 则 An 则称F 为一个σ -代数(或σ -域).. 例 4 设F ={X ,∅},则F 是 X 上的σ -代数. 这是 X 上的最小的σ -代数. 例 5 设P (X ) 是由 X 的全体子集所成的集类. 则P (X ) 是一个σ -代数. 这是 X 上的 最大的σ -代数. 例 6 设 X 是一个无限集. 令 A = {A : A. 或者 C A 是有限集}. 则 A 是 X 上的一个代 数. 由于 A 对可数并运算不封闭, 因此 A 不是一个σ -代数. 若令F = {A: A 或者 C A 至 多是可数集} 则F 是 X 上的一个σ -代数. 以上结论的验证留作习题. 定理 7 设F 是一个σ -代数. 则 (1) ∅ ∈F , X ∈F . (2) F 对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭. 证明 由于 , A1 ∪"∪ An = A1 ∪"∪ An ∪ An " 即有限并可以表示成可数并. 由于F 对可数并运算封闭, 因此F 对有限并运算封闭. 因此 F 是代数，由代数的性质知道 X ,∅ ∈F 并且 F 对有限交运算和差运算封闭。 由 De
Morgan公式得到∩A=(∪A),由于对可数并和余运算的封闭性知道对可数交 运算封闭■ 以上定义的四种集类的关系是,每个σ-代数都是代数,每个代数都是环,每个环都是 半环 思考题:1分别举例说明半环不必是环,环不必是代数,代数不必是σ-代数 2.举例说明σ-代数对任意多个集的并运算不一定封闭 由集类生成的σ-代数在定理4中我们已经知道,给定一个非空集类C,存在一个包含 C的最小的环(C).关于-代数和代数有类似的结果 定理8设C是一个非空集类则必存在唯一的一个σ-代数,满足 (2)对任何包含C的σ-代数丌,必有T'→丌 证明由X的全体子集所成的集类P(X)是一个σ-代数.因此至少存在一个包含C 的σ-代数.令 5=-∩{:是包含C的一代数 则丌是一个包含C的σ-代数.事实上,显然非空并且丌三C.设 A,∈丌,n=12,…往证∪A∈丌设界’是任意一个包含C的a·代数。则 A,∈,n=12…,由于是a代数,因此UA,∈,这表明A∈.因此了 对可数并运算封闭类似可以证明对余运算封闭因此T是一个包含C的σ-代数由 的定义知道,对任何包含C的σ-代数丌′,必有丌′丌.因此存在性得证唯一性 是显然的■ 由定理8,对任意一个非空集类C,存在唯一的一个包含C的最小的σ一代数.这个 -代数称为由C生成的a-代数,记为G(C).类似可定义由C生成的代数,记为.A(C) 例7设C是由X的单点子集的全体所成的集类.则 σ(C)={A:A或A是有限集或可数集} 证明将(3)的右边所定义的集类记为丌.显然丌三C.不难验证是一个σ-代数 (具体验证过程留作习题)另一方面,设了是任意一个包含C的a-代数若A是至多可数 集,则A可以表示成单点集的有限并或可数并既然包含C并且对有限并和可数并运
21 Morgan公式得到 ( ) , 1 1 C n C n n ∩An ∪A ∞ = ∞ = = 由于F 对可数并和余运算的封闭性知道F 对可数交 运算封闭.■ 以上定义的四种集类的关系是, 每个σ -代数都是代数, 每个代数都是环, 每个环都是 半环. 思考题: 1.分别举例说明半环不必是环, 环不必是代数, 代数不必是σ -代数. 2. 举例说明σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭. 由集类生成的σ -代数 在定理 4 中我们已经知道, 给定一个非空集类C , 存在一个包含 C 的最小的环R (C ). 关于σ -代数和代数有类似的结果. 定理 8 设C 是一个非空集类.则必存在唯一的一个σ -代数F ,满足 (1) F ⊃ C . (2) 对任何包含C 的σ − 代数 F ′, 必有F ′ ⊃ F . 证明 由 X 的全体子集所成的集类P (X ) 是一个σ − 代数. 因此至少存在一个包含C 的σ -代数. 令 F =∩{F ′ :F ′是包含C 的σ − 代数}. 则 F 是一个包含 C 的 σ - 代 数 . 事实上 , 显 然 F 非空并且 F ⊃ C . 设 A ∈ , n = 1, 2,". n F 往 证 . 1 ∈F ∞ = ∪ n An 设 F ′ 是任意一个包含 C 的 σ - 代 数 . 则 An ∈ F ′, n = 1, 2,".由于F ′ 是σ -代数, 因此 . 1 ∈F ′ ∞ = ∪ n An 这表明 . 1 ∈F ∞ = ∪ n An 因此F 对可数并运算封闭. 类似可以证明F 对余运算封闭. 因此F 是一个包含C 的σ − 代数.由 F 的定义知道, 对任何包含C 的σ − 代数 F ′, 必有F ′ ⊃ F . 因此存在性得证.唯一性 是显然的.■ 由定理 8, 对任意一个非空集类C , 存在唯一的一个包含C 的最小的σ − 代数. 这个 σ -代数称为由C 生成的σ -代数, 记为σ (C ). 类似可定义由C 生成的代数, 记为 A(C ). 例 7 设C 是由 X 的单点子集的全体所成的集类. 则 σ (C ) = {A : A 或 c A 是有限集或可数集}. (3) 证明 将(3)的右边所定义的集类记为F . 显然F ⊃ C . 不难验证F 是一个σ -代数 (具体验证过程留作习题). 另一方面, 设F ′ 是任意一个包含C 的σ -代数. 若 A 是至多可数 集, 则 A 可以表示成单点集的有限并或可数并. 既然F ′ 包含C 并且对有限并和可数并运
算封闭,因此A∈丌′.若A是至多可数集,则A∈丌由于对余运算封闭,因此 A=(A)°∈丌’.这表明′→丌.综上所证,丌是包含C的最小的σ--代数.因此 (C)=■ 例8设C={A:A是x的有限子集},C1={A:A或A是X的有限子集}.则 (C)=a(C1) 证明由于 CcC co(c1),并且σ(C)是包含C的最小σ-代数,因此 (C)ca(c1).往证相反的包含关系.设A∈C.则A或者A是有限集.若A是有限集 则A∈Ccσ(C).若AC是有限集,则A∈Cca(C).由于G(C)对余运算封闭,因此 A=(A°)∈a(C).这表明Cca(C)因此σ(C)cσ(C)这就证明了σ(C)=σ(C)■ 设C是一个非空集类.若是一个σ-代数并且Cc,则必有a(C)c.这是因 为σ(C)是包含的C的最小的σ-代数.由此得到测度论中常用的一种证明方法如下:设我 们要证明由集类C生成的-代数G(C)中所有的集都具有某种性质P令 ={A:A具有性质P} 然后证明()Cc丌.(i).是一个σ-代数.于是由a(C)的最小性知道a(C)c.即 (C)中所有的集都具有性质P 在上述证明方法中,具有性质P的集可以通俗的称为“好集”,上述证明方法可以称为 好集原理 以下部分不作为课堂讲授内容,必要时仅介绍其主要结果,不讲证明 丌类与类 定义9设C是一个非空集类 (1)称C为丌类,若C对有限交运算封闭 (2)称C为类,若C满足 ().X∈C (i).若A,B∈C并且A=B,则A-B∈C(对包含差运算封闭) i)若{A,}c界并且A,个,则∪A∈C(对单调增加的集列的并运算封闭) 设C是一个非空集类.类似于σ-代数的情形,存在一个包含C的最小类,称之为 由C生成的λ类,记为A(C) 定理10集类丌是σ一代数当且仅当既是丌类又是A类 证明必要性是显然的.往证充分性.因为丌既是丌类又是A类,因此牙对余运算和 有限交运算封闭.于是由 De Morgan公式推出对有限并运算封闭.设{An}是中的
22 算封闭, 因此 A∈ F ′. 若 c A 是至多可数集, 则 ∈c A F ′. 由于F ′ 对余运算封闭, 因此 = ∈ c c A (A ) F ′. 这表明F ′ ⊃ F . 综上所证, F 是包含C 的最小的σ -σ -代数. 因此 σ (C ) = F . ■ 例 8 设 C = {A : A是X的有限子集}, C1 = {A : A或A 是X的有限子集}. c 则 σ (C ) = ( ). σ C1 证 明 由 于 C ⊂C1 ⊂ ( ) σ C1 , 并 且 σ (C ) 是包含 C 的最小 σ - 代 数 , 因 此 σ (C ) ⊂ ( ) σ C1 . 往证相反的包含关系. 设 A∈C1 . 则 A 或者 c A 是有限集. 若 A 是有限集, 则 A∈C ⊂ σ (C ). 若 c A 是有限集, 则 c A ∈C ⊂ σ (C ). 由于σ (C ) 对余运算封闭, 因此 A= ∈ c c (A ) σ (C ). 这表明C1 ⊂ σ (C ).因此 ( ) σ C1 ⊂ σ (C ). 这就证明了σ (C ) = ( ). σ C1 ■ 设C 是一个非空集类. 若F 是一个σ -代数并且C ⊂ F , 则必有σ (C ) ⊂ F . 这是因 为σ (C ) 是包含的C 的最小的σ -代数. 由此得到测度论中常用的一种证明方法如下: 设我 们要证明由集类C 生成的σ − 代数 σ (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F ={A : A具有性质P}. 然后证明(i).C ⊂ F . (ii).F 是一个σ -代数. 于是由σ (C ) 的最小性知道σ (C ) ⊂ F . 即 σ (C ) 中所有的集都具有性质 P. 在上述证明方法中, 具有性质 P 的集可以通俗的称为“好集”, 上述证明方法可以称为 “好集原理”. 以下部分不作为课堂讲授内容, 必要时仅介绍其主要结果, 不讲证明. π 类与λ 类 定义 9 设C 是一个非空集类. (1) 称C 为π 类, 若C 对有限交运算封闭. (2) 称C 为λ 类, 若C 满足 (i). X ∈C . (ii) .若 A, B ∈C 并且 A ⊃ B, 则 A − B ∈C (对包含差运算封闭). (iii) .若{An } ⊂ F 并且 ↑, An 则 ∈C ∞ = ∪ n 1 An (对单调增加的集列的并运算封闭). 设C 是一个非空集类. 类似于σ − 代数的情形, 存在一个包含C 的最小 λ 类, 称之为 由C 生成的λ 类, 记为λ(C ). 定理 10 集类F 是σ − 代数当且仅当F 既是π 类又是λ 类. 证明 必要性是显然的. 往证充分性. 因为F 既是π 类又是 λ 类, 因此F 对余运算和 有限交运算封闭. 于是由 De Morgan 公式推出F 对有限并运算封闭. 设{ } An 是F 中的一
列集。令Bn=UA,n≥1.则{Bn}并且Bn↑,由于丌是类,因此 UA,=UB.∈9.故5对可数并运算封闭所以是一个一代数 定理11设C是一个x类则A(C)=G(C) 推论12若C是一个r类,分是一个类并且Cc分,则σ(C)c界 证明由定理11知道(C)=A(C).即(C)是包含C的最小A类.而是一个包含 C的A类,因此(C)c■ 由推论12我们得到在测度论中另一个常用的证明方法.设C是一个丌类,若我们要证 明σ(C)中所有的集都具有某种性质P.令 ={A:A具有性质P} 然后证明()Cc.(i)是一个类.于是由推论12知a(C)c.即G(C)中所有 的集都具有性质P 小结本节介绍的环,代数和-代数等是测度论中常见的几种集类.它们的运算封闭 性一个比一个强.G-代数是最重要的一种集类.任何一个非空集类C可以生成一个σ-代 数,即σ(C),它是包含C的最小a-代数.利用a(C)的性质,得到测度论中常用的一种证 明方法即所谓“好集原理”,常常可以简化一些定理的证明 习题习题一,第18题一第28题
23 列 集 . 令 , 1. 1 = ≥ = B A n n i n ∪ i 则 {Bn } ⊂ F 并 且 ↑ . Bn 由 于 F 是 λ 类 , 因 此 = ∈ ∞ = ∞ = ∪ ∪ 1 n 1 n n An B F . 故F 对可数并运算封闭. 所以F 是一个σ − 代数.■ 定理 11 设C 是一个π 类. 则λ(C ) = σ (C ). 推论 12 若C 是一个π 类, F 是一个λ 类并且C ⊂ F , 则σ (C ) ⊂ F . 证明 由定理 11 知道σ (C ) = λ(C ). 即σ (C ) 是包含C 的最小λ 类. 而F 是一个包含 C 的λ 类, 因此σ (C ) ⊂ F . ■ 由推论 12 我们得到在测度论中另一个常用的证明方法. 设C 是一个π 类, 若我们要证 明σ (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F ={A : A 具有性质 P}. 然后证明(i) C ⊂ F . (ii) F 是一个λ 类. 于是由推论 12 知σ (C ) ⊂ F . 即σ (C ) 中所有 的集都具有性质 P. 小 结 本节介绍的环, 代数和σ -代数等是测度论中常见的几种集类. 它们的运算封闭 性一个比一个强. σ -代数是最重要的一种集类. 任何一个非空集类C 可以生成一个σ -代 数, 即σ (C ) , 它是包含C 的最小σ -代数. 利用σ (C ) 的性质, 得到测度论中常用的一种证 明方法即所谓“好集原理”, 常常可以简化一些定理的证明. 习 题 习题一, 第 18 题—第 28 题