§5.3绝对连续函数与不定积分 教学目的介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛 顿莱布尼兹公式 教学要点绝对连续函数,不定积分,牛顿莱布尼兹公式 定义1设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数.若对任意>0,存在δ>0,使得对 [a,b]上的任意有限个互不相交的开区间{ab),当(b-a1)0,存在δ>0,使得对[ab中 的任意可测集A,当m(A)<时,f()d<.于是对[a,b]上的任意有限个互不相 交的开区间{(ab),当(b-a1)<时,令A=(ab),则 i= m(A)=(b-a1)<.于是 IF()-Fa)= sodr)=) <. 因此F是[a,b]上的绝对连续函数 143
143 §5.3 绝对连续函数与不定积分 教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质, 证明联系微分与积分的牛 顿-莱布尼兹公式. 教学要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式. 定义 1 设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 若对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对 [a,b]上的任意有限个互不相交的开区间{( , )} , 1 n ai bi i= 当∑ − 0, 存在δ > 0, 使得对[a,b]中 的任意可测集 A , 当 m(A) < δ 时, () . A f t dt <ε ∫ 于是对[a,b]上的任意有限个互不相 交的开区间 {( , )} , 1 n ai bi i= 当 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时 , 令 ( , ), 1 ∪ n i A ai bi = = 则 ( ) ( ) . 1 = ∑ − < δ = n i m A bi ai 于是 1 11 ( ) ( ) () () () . i i i i n nn b b i i a aA i ii F b F a f t dt f t dt f t dt ε = == ∑ ∑∑ −= ≤ = < ∫ ∫∫ 因此 F 是[a,b]上的绝对连续函数
例2若∫在[an,b]上满足 Lipschitz条件,则∫是[a,b]上的绝对连续函数 证明对任意E>0,令6=元(M是Liph常数.则当∑(b-a,)0,使得对[a,b上的任 意有限个互不相交的开区间{(a,b),当∑(b-a)0,设δ是绝对连续函数定义中相应的正数.现在设 {(a,b)m是[ab上的互不相交的开区间使得∑(b-a)<6.对每个=1…,n,设 144
144 例 2 若 f 在[a,b]上满足 Lipschitz 条件, 则 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 对任意ε > 0, 令 M ε δ = ( M 是 Lipschitz 常数). 则当∑ − 0, 使得对[a,b]上的任 意有限个互不相交的开区间 {( , )} , 1 n ai bi i= 当 ∑ − 0, 设 δ 是绝对连续函数定义中相应的正数. 现在设 n ai bi i 1 {( , )} = 是[a,b]上的互不相交的开区间使得∑ − < δ = n i i i b a 1 ( ) . 对每个i = 1,",n, 设
x0< <xo=b 是(an,b)的任一分割则{(x,x=1),j=1…k,=1…,n是[a6]上的限个互不相交 的开区间,并且这些小区间的长度之和 ∑(x-x(2)=∑(b-a)<6 由∫的绝对连续性得到 s 对(a1,b)(i=1,…,n.)的所有分割取上确界得到 ()-1(f (≤ 这表明V()是[a,b]上的绝对连续函数■ 定理5设∫是[a,b]上的 Lebesgue可积函数则f的不定积分 F(x) (dt+C 在[a,b]上几乎处处可导并且F(x)=f(x)ae. 证明由例1知道F(x)是[a,b上的绝对连续函数.因而由推论3知道F(x)在[a,b]上 几乎处处可导.往证F(x)=f(x)ae先证明若是[a,b上的 Lebesgue可积函数,则 q()dtax≤ 事实上,由于[q()和[q()都是单调增加的函数,$51定理5,我们有 (odr dx 因此 ∫o(x)k+J(x)k=∫
145 i i k i i i a x x x b i = < < < = ( ) ( ) 1 ( ) 0 " 是 ( , ) ai bi 的任一分割. 则{( , ), 1, , , 1, , } 1 x x j k i n i i j i j − = " = " 是[a,b]上的限个互不相交 的开区间, 并且这些小区间的长度之和 ( ) ( ) . 1 1 1 ( ) 1 ( ) ∑ ∑ ∑ − = − < δ = = = − n i n i i i k j i j i j x x b a i 由 f 的绝对连续性得到 ( , , ) ( ) ( ) . 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 ∑ = ∑∑ − < ε = = − = n i n j i j i j n i i n i i f i i V x x "x f x f x 对( , ) ai bi (i = 1,",n.)的所有分割取上确界得到 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ∑ − = ∑ ≤ ε = = n i b a n i a a b a V f V f V f i i i i 这表明V ( f ) x a 是[a,b]上的绝对连续函数.■ 定理 5 设 f 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分 ( ) () x a F x f t dt C = + ∫ 在[a,b]上几乎处处可导并且 F′(x) = f (x) a.e.. 证明 由例1知道 F(x)是[a,b]上的绝对连续函数. 因而由推论3知道 F(x)在[a,b]上 几乎处处可导. 往证 F′(x) = f (x) a.e..先证明若ϕ 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数, 则 () ( ) . bx b aa a ϕ ϕ t dt dx x dx ′ ≤ ∫∫ ∫ (1) 事实上, 由于 ∫ + x a ϕ (t)dt 和 ∫ − x a ϕ (t)dt 都是单调增加的函数, §5.1 定理 5, 我们有 () ( ) . bx b aa a ϕ ϕ t dt dx x dx + + ′ ≤ ∫∫ ∫ () ( ) . bx b aa a ϕ ϕ t dt dx x dx − − ′ ≤ ∫∫ ∫ 因此 () () () () () () . b x bx bx a a aa aa bb b aa a t dt dx t dt dx t dt dx x dx x dx x dx ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ + −+ + − ′′ ′ ≤ + ≤+= ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
即(1)成立.由§45定理2,对任意E>0,存在[a,b]上的一个连续函数g,使得 -g≤由数学分析中熟如的定理知a(o=()对函数厂-g应 用(2)式,我们有 f(odt-f(x)da (f(1)-g(1)dh+g(x)-f(x)d 广(-))8-t ≤2∫(x)-8(x)ak0的任意性我们得到 f()d-f(x)dx=0.因此 f(d-f(x)=0ae.此即F(x)=f(x)ae.■ 定理6设∫是[a,b上的绝对连续函数,并且在[a,b]上f"(x)=0ae.则f在[a,b] 上恒为常数 证明先证明f(a)=∫(b).对任意E>0,存在δ>0,使得对[a,b]上的任意有限个 互不相交的开区间(an,b),当∑(b-a)0,使得当y∈(y-hy+h)时,f(y)-f(y)<Ey-川这样开区间族 {(a2,b)}∪{(y-h,y+h,y∈[a,b]-G}构成了[a,b]的一个开覆盖.由有限覆盖定理, 可以从中选出有限个区间,不放设为 (a1,b1),…,(a4,b),(y1-h1,y1+h1),…,(y1-h,y+h2) 仍然覆盖[a,b].我们可以在点a1,b,…,ak,b,y1,…,y之外再加上一些分点,构成 [a,b]的一个分点组a=x0<x1<…<xn=b,使得对任何给定的小区间(x-1,x,),不外 146
146 即(1)成立. 由§4.5 定理 2, 对任意 ε > 0, 存在 [a,b] 上的一个连续函数 g , 使得 . b a f g dt − 0 的任意性我们得到 ( ) ( ) 0. b x a a f t dt f x dx ′ − = ∫ ∫ 因 此 ( ) ( ) 0 a.e.. x a f t dt f x ′ − = ∫ 此即 F′(x) = f (x) a.e.. ■. 定理 6 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数, 并且在[a,b]上 f ′(x) = 0 a.e. 则 f 在[a,b] 上恒为常数. 证明 先证明 f (a) = f (b). 对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对[a,b]上的任意有限个 互不相交的开区间{( , )} , 1 n ai bi i= 当 1 ( ) n i i i b a δ = ∑ − 0, 使得当 y′∈ ( y − h, y + h) 时 , f ( y′) − f ( y) < ε y′ − y . 这样开区间族 {(a ,b )} {( y h, y h), y [a,b] G} i i ∪ − + ∈ − 构成了[a,b] 的一个开覆盖. 由有限覆盖定理, 可以从中选出有限个区间, 不放设为 ( , ), ,( , ), a1 b1 " ak bk ( , ), ,( , ) 1 1 1 1 l l l hl y − h y + h " y − h y + 仍然覆盖[a,b] . 我们可以在点 k k l a , b , , a , b , y , , y 1 1 " 1 " 之外再加上一些分点, 构成 [a,b]的一个分点组 , a = x0 < x1 < " < xn = b 使得对任何给定的小区间 ( , ) i 1 i x x − , 不外
乎出现以下两种情况 (1)对某个,(x-1,x)c(a,b,) (2)对某个j,(x-1,x)C(y-h,y)或(x 于是我们有 0≤f(b)-f(a)s∑|(x)-f(x) ≤∑(x)-fx-)+∑(x)-f(x +Ex-x-|≤E+(b-a) 其中∑表示对出现情况(1)的(x,x)求和,∑2表示对出现情况(2)的(x1,x)求和 由E>0的任意性得到∫(a)=∫(b).对任意x∈[a,b,用[a,x]代替[a,b],同样可以得 到∫(x)=f(a).因此∫在[a,b上恒为常数■ 定理7(微积分基本定理)设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数.则成立牛顿-莱布尼兹 公式 f(x)-f(a) ∫(t)dt,x∈[a,b 的充要条件是∫(x)是绝对连续函数 证明由例1即知必要性成立.往证充分性.设∫(x)是绝对连续的.由推论3,∫在 a,b]上几乎处处可导,并且∫"是 Lebesgue可积的.令 p(x)=f(x)/(odt,xela,bl (4) 由定理5知道,在[a,b]上φ(x)=0ae.根据定理6,(x)在[a,b]使恒为常数.因此 qp(x)=(a)=f(a).代入(4)即得(2) 推论8(分部积分公式)设∫,g是[a,b]上的绝对连续函数.则成立 ∫,=8-,gh 证明容易知道是[a,b]上的绝对连续函数.利用定理7,我们有 (b8-(0)(0J(0k)=+广g/h 由此即得(5).推论证毕 小结由于绝对连续函数的引进,微积分基本定理成功地推广到 Lebesgue积分.这使 得 Lebesgue积分理论更加完善,同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证 习题习题五,第15题一第30题 147
147 乎出现以下两种情况: (1). 对某个 j, ( , ) ( , ). i 1 i a j bj x − x ⊂ (2). 对某个 j, ( , ) ( , ) i 1 i j j j x x ⊂ y − h y − 或( , ) ( , ) i 1 i j j hj x − x ⊂ y y + . 于是我们有 ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 1 (2) 1 (1) 1 1 1 x x b a f x f x f x f x f b f a f x f x i i i i i i n i i i 0 的任意性得到 f (a) = f (b). 对任意 x ∈[a, b], 用[a, x]代替[a,b], 同样可以得 到 f (x) = f (a).因此 f 在[a,b]上恒为常数.■ 定理 7 (微积分基本定理)设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 则成立牛顿-莱布尼兹 公式 ( ) ( ) () , [ , ] x a f x f a f t dt x a b −= ∈ ′ ∫ (2) 的充要条件是 f (x) 是绝对连续函数. 证明 由例 1 即知必要性成立. 往证充分性. 设 f (x) 是绝对连续的. 由推论 3, f 在 [a,b]上几乎处处可导, 并且 f ′是 Lebesgue 可积的. 令 ( ) ( ) () , x a ϕ x = − f x f t dt ′ ∫ x ∈[a, b]. (4) 由定理 5 知道, 在[a,b]上ϕ′(x) = 0 a.e.. 根据定理 6, ϕ(x) 在[a,b]使恒为常数. 因此 ϕ(x) = ϕ(a) = f (a). 代入(4)即得(2).■ 推论 8 (分部积分公式)设 f , g 是[a,b]上的绝对连续函数. 则成立 . b b b a a a ∫ ∫ fg dx fg gf dx ′ ′ = − (5) 证明 容易知道 fg 是[a,b]上的绝对连续函数. 利用定理 7, 我们有 () () () () ( ) . b bb a aa f b g b f a g a fg dx fg dx g f dx − = =+ ′′ ′ ∫ ∫ ∫ 由此即得(5). 推论证毕. 小 结 由于绝对连续函数的引进, 微积分基本定理成功地推广到 Lebesgue 积分. 这使 得 Lebesgue 积分理论更加完善, 同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证. 习 题 习题五, 第 15 题—第 30 题