第二章测度与测度的构造 我们知道 Riemann积分的几何意义是曲边梯形的面积.为在欧氏空间空间R上推广 Riemann积分的理论,我们必须把象长度,面积和体积等概念推广到R”中的更一般的集上 去本章将要定义的R”上的 Lebesgue测度就是长度,面积和体积等概念推广 §2.1测度与测度的性质 教学目的给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的 基本性质 Lebesgue测度和 Lebesgue-Stieljes测度是本节定义的测度最重要 的特例,将在§23中介绍 本节要点本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度应通过一些例 子使学生理解测度的意义 广义实数集测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值为此引进“+∞”和 “-∞”两个符号,称之为广义实数规定它们与实数a之间的大小关系和四则运算如下 (1)序关系:-∞0 (3)乘法:a(±∞)=(±∞)a={0 [0,+∞]是一个非负值集函数如果H满足如下条 (i)可数可加性:对n中的任意一列互不相交的集{An}
38 第二章 测度与测度的构造 我们知道 Riemann 积分的几何意义是曲边梯形的面积. 为在欧氏空间空间 n R 上推广 Riemann 积分的理论, 我们必须把象长度, 面积和体积等概念推广到 n R 中的更一般的集上 去. 本章将要定义的 n R 上的 Lebesgue 测度就是长度, 面积和体积等概念推广. §2.1 测度与测度的性质 教学目的 给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的 基本性质.Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieljes 测度是本节定义的测度最重要 的特例, 将在§2.3 中介绍. 本节要点 本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度.应通过一些例 子,使学生理解测度的意义. 广义实数集 测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值.为此引进“ + ∞ ”和 “ − ∞ ”两个符号, 称之为广义实数.规定它们与实数 a 之间的大小关系和四则运算如下: (1) 序关系: − ∞ ⋅ ±∞ = ±∞ ⋅ = 0. 0 0 0 ( ) ( ) a a a a a ∓ (4) 除法: = 0. ± ∞ a (5) 绝对值: ± ∞ = +∞. 记 ∗ R = { , }. 1 R ∪ +∞ −∞ 称 ∗ R 为广义实数集, 它的元素称为广义实数. 取值于 ∗ R 的 序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数. 测度的定义与性质 设 X 是一固定的非空集. 本节所讨论的集都是 X 的子集. 我们称定 义在集类上的函数为集函数. 定义 1 设R 为一个环, µ :R → [0, + ∞] 是一个非负值集函数. 如果 µ 满足如下条 件: (i) µ(∅) = 0. (ii) 可数可加性 : 对 A 中的任意一列互不相交的集 { }, An 当
UA,∈R时,成立 u(∪4)=∑u(4) 则称为上的一个测度 注1环上的测度也具有有限可加性事实上,设A1,…,A∈界,则 u(U4)=(A1…UAn∪②∪…) =(A1)+…+(An)+(⑦)+ ∑山(A1) 这表明μ具有有限可加性.但在一般情况下,有限可加性不能推出可数可加性 思考题证明:若μ是环界上的广义实值函数,不恒为+∞,并且满足可数可加性, 则是上的测度 例1设R={X,}.令()=0,(x)=1.则是上的测度 例2设X是一非空集,a是X中的一个固定元对任意A∈P(X),令 (A) 卩1若a∈A 0若a∈A 则容易验证是?(X)上的测度 例3设是非空集X上的a一代数.对任意A∈,若A≠,则令(A)=+∞ 另外令山()=0,则是上的测度 例4设X={a12a2,…}是可数集,P(X)是X的全体子集所成的σ-代数.又设 Pn,P≥l}是一列非负实数在刃(X)上定义 H(C)=0,以(4)=∑P,A∈P(x) 容易验证是(X)上的测度.特别地,当Pn=1(n≥1)时, A中元素的个数当A是有限集, (4) 当A是无限集 此时称4为X上的计数测度.特别地,若取X=N为自然数集,则得到自然数集上的计数 测度 例5设丌是非空集X上的a-代数,E∈.令={E∩A:A∈}.则是E 上的σ一代数(见第一章习题第22题).若H是丌上的测度.则(限制在兀上)也是E上
39 ∈ ∞ = ∪ n 1 An R 时, 成立 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∞ = = n n n µ ∪An µ A 则 µ 称为R 上的一个测度. 注 1 环上的测度也具有有限可加性.事实上, 设 A1 ,", An ∈ R , 则 ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ∑= = = = + + + ∅ + = ∪ ∪ ∪ ∅ ∪ n i i n n n i i A A A A A A µ µ µ µ µ µ " " ∪ " " 这表明 µ 具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若 µ 是环R 上的广义实值函数, µ 不恒为 + ∞ , 并且满足可数可加性, 则 µ 是R 上的测度. 例 1 设R ={X, ∅}. 令 µ(∅) = 0, µ(X ) = 1. 则 µ 是R 上的测度. 例 2 设 X 是一非空集, a 是 X 中的一个固定元. 对任意 A∈ P (X ), 令 ∉ ∈ = 0 . 1 , ( ) a A a A A 若 若 µ 则容易验证 µ 是P (X ) 上的测度. 例 3 设F 是非空集 X 上的σ − 代数. 对任意 A∈F , 若 A ≠ ∅, 则令 µ(A) = +∞ . 另外令 µ(∅) = 0, 则 µ 是F 上的测度. 例 4 设 { , , } X = a1 a2 " 是可数集, P (X ) 是 X 的全体子集所成的σ − 代数 . 又设 {p , p ≥ 1} n 是一列非负实数. 在P (X ) 上定义 µ(∅) = 0, ( ) ∑ , ∈ = a A i i µ A p A∈ P (X ) . 容易验证 µ 是P (X ) 上的测度. 特别地, 当 p = 1( n ≥ 1) n 时, + ∞ = . , ( ) . 当 是无限集 中元素的个数 当 是有限集 A A A µ A 此时称 µ 为 X 上的计数测度. 特别地, 若取 X = N 为自然数集, 则得到自然数集上的计数 测度. 例 5 设F 是非空集 X 上的σ − 代数, E ∈ F . 令F = {E ∩ A : A∈F }. E 则FE 是 E 上的σ − 代数(见第一章习题第 22 题). 若 µ 是F 上的测度. 则 µ (限制在FE 上)也是FE 上
的测度 在§23将给出测度最重要的例子,即R”上的 Lebesgue测度 定理2设H是环上的测度.则具有如下性质 (1)单调性若A,B∈且A∈B,则(A)≤p(B (2)可减性.若A,B∈,ACB并且山(A)<+∞,则 (B-A)=(B)-1(A) (3)次可数可加性若{4n}<R并且∪A∈,则 U4)≤∑(A) (4)下连续性若{4}C,A个并且A∈兒,则 u(UA,)=lim u(An,) (5)上连续性若{4}∈,A并且∩A∈R,(4)<+,则 H(∩4)=lm(A) 证明(1)由于ACB,故B=A∪(B-A)由于A∩(B-A4)=②,由测度的有限可 加性得到 (B)=(A)+(B-A) 注意到(B-A)≥0,因此(A)≤(B) (2)在(1)中已证p(B)=(A)+(B-A).由此式并注意到0≤(4)<+∞,即得 (B-A)=(B)-(A) (3)令 B=A,Bn=A4-UA,n≥2 则{Bn}R,并且BnCA(n≥1,B1∩B=(≠八易知成立A=UBn(参 见第一章习题第18题)利用测度的可数可加性和单调性得到
40 的测度. 在§2.3 将给出测度最重要的例子, 即 n R 上的 Lebesgue 测度. 定理 2 设 µ 是环R 上的测度. 则 µ 具有如下性质: (1) 单调性. 若 A, B ∈ R 且 A ⊂ B, 则 µ(A) ≤ µ(B). (2) 可减性. 若 A, , B ∈ R A ⊂ B 并且 µ(A) < +∞, 则 µ(B − A) = µ(B) − µ(A). (3) 次可数可加性. 若{An } ⊂ R 并且 ∈ ∞ = ∪ n 1 An R, 则 ≤ ∞ = ( ) 1 ∪ n µ An ( ). 1 ∑ ∞ n= µ An (4) 下连续性. 若{An } ⊂ R, An ↑并且 ∈ ∞ = ∪ n 1 An R, 则 ( ) 1 ∪ ∞ n= µ An = lim ( ). n n µ A →∞ (5) 上连续性. 若{An } ⊂ R , An ↓并且 ∈ ∞ = ∩ n 1 An R, ( ) , µ A1 < +∞ 则 ( ) 1 ∩ ∞ n= µ An = lim ( ). n n µ A →∞ 证明 (1).由于 A ⊂ B, 故B = A ∪ (B − A). 由于 A∩ (B − A) = ∅, 由测度的有限可 加性得到 µ(B) = µ(A) + µ(B − A). 注意到 µ(B − A) ≥ 0, 因此 µ(A) ≤ µ(B). (2).在(1)中已证 µ(B) = µ(A) + µ(B − A). 由此式并注意到 0 ≤ µ(A) < +∞ , 即得 µ(B − A) = µ(B) − µ(A). (3). 令 , , 2. 1 1 1 = 1 = − ≥ − = B A B A A n n i n n ∪ i 则{Bn } ⊂ R , 并且 B ⊂ A (n ≥ 1), n n B B (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 易知成立 ∪ ∞ n=1 An =∪ ∞ n=1 Bn (参 见第一章习题第 18 题). 利用测度的可数可加性和单调性得到
u(∪A,)=(UB,)=∑(B,)s∑(A) (4).令B1=A1,Bn=An-An-1,n≥2.由于An↑,容易知道有 B∩B,=∞(i≠j,并且 An=UB,, UA=U 由测度的可数可加性,我们 (∪A)=∑(B)=m2( limu(UB,)=lim A(An) (5)令Bn=A-An,n≥1.则Bn↑,并且 ∪Bn=U(4-A)=4-∩A 注意到(UA)≤从(A1)≤以(A)<+∞,由测度的可减性和下连续性,得到 (4)-∩4)=UE)=lm(B, lim(u(A-u(a,)) u(A)-lim A(An) 由上式得到(∩4,)=lm(A)定理证毕■ 注2在测度的性质(5)中,若去掉条件山(A1)<+∞,则不能保证(5)中的结论成立.例 如,设μ是自然数集N上的计数测度.令An={n,n+1,…},n≥1.则A↓并且 ∩A,=②.于是(∩4)=0.另一方面,由于以(A)=+∞(n21,故 im山(An)=+0.因此(An)≠lim山(An) n→① 定义3设H是环界上的测度 (i)若对每个A∈都有(4)<+∞,则称是有限的
41 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = = ≤ n n n n n n n µ ∪An µ ∪B µ B µ A (4). 令 , , 2. B1 = A1 Bn = An − An−1 n ≥ 由 于 ↑, An 容易知道有 B B (i j), i ∩ j = ∅ ≠ 并且 , . 1 1 1 ∪ ∪ ∪ ∞ = ∞ = ∞ = = = i i i i i An Bi A B . 由测度的可数可加性, 我们 lim ( ) lim ( ). ( ) ( ) lim ( ) 1 1 1 1 n n n i i n n n i i n n n n B A A B B µ µ µ µ µ →∞ = →∞ ∞ = = →∞ ∞ = = = = ∑ ∑ = ∪ ∪ (5) 令 1 , 1. , B A An B nn n =− ≥ 则 并且 ↑ ( ) . 1 1 1 1 1 ∪ ∪ ∩ ∞ = ∞ = ∞ = = − = − n n n n n Bn A A A A 注意到 ( ) ( ) ( ) , 1 1 ≤ ≤ < +∞ ∞ = A An A n µ ∪ n µ µ 由测度的可减性和下连续性, 得到 ( ) lim ( ). lim( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) lim ( ) 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n A A A A A A B B µ µ µ µ µ µ µ µ →∞ →∞ →∞ ∞ = ∞ = = − = − − ∩ = ∪ = 由上式得到 ( ) 1 ∩ ∞ n= µ An = lim ( ). n n µ A →∞ 定理证毕.■ 注 2 在测度的性质(5)中, 若去掉条件 µ(A1 ) < +∞ , 则不能保证(5)中的结论成立. 例 如 , 设 µ 是自然数集 N 上的计数测度 . 令 A = {n, n +1, }, n ≥ 1. n " 则 An ↓ 并 且 . 1 = ∅ ∞ = ∩ n An 于 是 ( ) 0. 1 = ∞ = ∩ n µ An 另一方面 , 由 于 (A ) = +∞(n ≥ 1), µ n 故 lim ( ) = +∞. →∞ n n µ A 因此 ( ) 1 ∩ ∞ n= µ An lim ( ) n n µ A →∞ ≠ . 定义 3 设 µ 是环R 上的测度. (i).若对每个 A∈ R 都有 µ(A) < +∞, 则称 µ 是有限的
(i).若对每个A∈R,存在界中一列集{An},使得(A)<+∞(m≥1)并且 A=U An,则称4是一有限的 容易知道,若环上的测度是a-有限的,则上述定义中的{An}可以选取为互不 相交的.特别地,若是一代数分上的测度,则是a-有限的当且仅当存在中一列 互不相交的集{A,},使得(A1)<+0(n≥1)并且X=∪ 例如,本节例1和例2中的测度是有限的例4中的测度是σ-有限的 定义4(1)设X为一非空集,为X上的σ一代数.称二元组合(X,)为可测空间 丌中的集称为一可测集(或简称为可测集) (2)设4为可测空间(X,)上的测度,称三元组合(X,,4)为测度空间.若测度 为有限的或-有限的,则分别称测度空间(X,,4)为有限的和σ一有限的 小结为了适应现代数学的许多分支需要,本节在一般空间上介绍测度本节讨论的测 度的性质,以后会经常用到,应熟练掌握.测度最重要的例子将在§23中介绍 习题习题二,第1题一第8题
42 (ii). 若对每个 A∈ R , 存在 R 中一列集 { }, An 使得 µ(An ) < +∞ (n ≥ 1) 并且 , 1 ∪ ∞ = = n A An 则称 µ 是σ − 有限的. 容易知道, 若环R 上的测度 µ 是σ − 有限的, 则上述定义中的{ } An 可以选取为互不 相交的. 特别地, 若 µ 是σ − 代数F 上的测度, 则 µ 是σ − 有限的当且仅当存在F 中一列 互不相交的集{ }, An 使得 µ(An ) < +∞ (n ≥ 1)并且 . 1 ∪ ∞ = = n X An 例如, 本节例 1 和例 2 中的测度是有限的.例 4 中的测度是σ − 有限的. 定义 4 (1) 设 X 为一非空集, F 为 X 上的σ − 代数. 称二元组合(X, F ) 为可测空间. F 中的集称为F − 可测集(或简称为可测集). (2) 设 µ 为可测空间(X, F ) 上的测度. 称三元组合(X, F ,µ) 为测度空间. 若测度 µ 为有限的或σ − 有限的, 则分别称测度空间(X, F ,µ) 为有限的和σ − 有限的. 小 结 为了适应现代数学的许多分支需要, 本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测 度的性质, 以后会经常用到, 应熟练掌握. 测度最重要的例子,将在§2.3 中介绍. 习 题 习题二, 第 1 题—第 8 题