第六章线性变换和特征值 n6.1n维空间的线性变换 n6.2方阵的特征值和特征向量 ■6.3相似矩阵与矩阵的对角化 64实对称矩阵的对角化 6.5二次型及其标准形 6.6奇异值分解简介 6.7应用实例 68习题
第六章 线性变换和特征值 6.1 n维空间的线性变换 6.2 方阵的特征值和特征向量 6.3 相似矩阵与矩阵的对角化 6.4 实对称矩阵的对角化 6.5 二次型及其标准形 6.6 奇异值分解简介 6.7 应用实例 6.8 习题
6.1n维空间的线性变换 定义6.1设X,Y是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x,按照一定的对应法则T,总有 Y中一个确定的元素y与之对应,则称T 为从集合X到集合Y的,记为y=T(x) 或y=Tx,X称y是X在映射T下的,x是y 在映射T下的,X称为映射T的 像的全 体所构成的集合称为 记作T(X
6.1 n维空间的线性变换 定义6.1 设 X,Y 是两个非空集合。若对于X 中的任一元素x ,按照一定的对应法则T，总有 Y中一个确定的元素y与之对应，则称 T 为从集合X到集合Y的映射，记为 或 ， 称y是X在映射T下的像，x是y 在 映射T下的源,X称为映射T的源集，像的全 体所构成的集合称为像集，记作 。 y = T(x) y = Tx x X T X( )
定义62设V,Um是实数域上的向量空间, T是一个从V到Um的映射,若映射T满足 1yx1,x2∈Vn,有T(x1+x2)=T(x)+T(x2) 2)x∈Vn,k∈R,有T(kx)=kT(x) 则称T为从ˇ到U的线性映射,或称线性变 换。线性映射就是保持线性组合的映射
定义6.2 设 是实数域上的向量空间， T是一个从 到 的映射，若映射T满足 1) 2) 则称T为从 到 的线性映射，或称线性变 换。线性映射就是保持线性组合的映射。 V ,Un m Vn Um , 1 2 n 1 2 1 2 x , x V T(x + x ) = T(x + T(x ) 有 ） , k n x V R, T x T(x 有 (k )=k ） Vn Um
例6.1试证所有矩阵相乘的关系式y=T(x)=Ax 都是R到R喲线性映射。 证:利用矩阵的数乘及乘法运算,y=T(x)=Ax 是R到R的映射。若y1=Ax12y2=Ax2,显然 有 y,+y2=AX +AX2 =A(x1 +x2)K kyA(Kx,) 即T是R"到R的线性映射
例6.1 试证所有矩阵相乘的关系式 即 都是 的线性映射。 证：利用矩阵的数乘及乘法运算， 是 的映射。 显然 有 及 即T是 的线性映射。 y = T(x) Ax = 1 1 11 12 1 2 21 22 2 2 1 2 n n m n m m mn y x a a a y a a a x y x a a a = n m R R 到 y = T(x) Ax = n m R R 到 1 1 2 2 若y = Ax y = Ax , , y y = Ax Ax A x x 1 2 1 2 1 2 ＋ ＋ ＝ ( ＋ ) k k y A x 1 1 ＝ ( ) n m R R 到
例6.,2向量空间∨中的恒等变换E:E()=a∈V 是线性变换。 证明:设a∈Vk∈R则有 E(0+B)=a+B=E()+E(P) E(ka)=ka=kE(a 所以恒等变换E是线性变换
例6.2 向量空间V中的恒等变换 是线性变换。 证明：设 ，则有 所以恒等变换E是线性变换。 E : E(α) = α,αV α,β V R , k k k k E(α + β) = α + β = E(α) + E(β), E( α) = α = E(α)
6.2方阵的特征值和特征向量 ■6.2.1特征值和特征向量的定义和计算 定义63设A=(4是阶方阵,若存在数和n 维非零列向量x,使得 Ax=nX (6-1) 成立,则称数为方阵A的特征值,称非零向 量X为方阵A对应于特征值λ的特征向量。将 (6-1)式变形为 (aI-A)x=0(或(A-AD)x=0)(62)
6.2 方阵的特征值和特征向量 6.2.1 特征值和特征向量的定义和计算 定义6.3 设 是 阶方阵，若存在数 和 维非零列向量 ，使得 （6-1） 成立，则称数 为方阵A的特征值，称非零向 量 为方阵A对应于特征值 的特征向量。将 （6-1）式变形为 (或 ) （6-2） ( )ij A = a n n x Ax = x x ( I - A)x 0 = (A − I)x = 0
满足这个方程的和x就是我们要求的特征 值和特征向量。 (6-2)式是含个n方程的元齐次线性方程 组,它有非零解的充要条件是 RI-A=0 (6-3) 记作()-44 0 (6-4) 称a)为方阵A的特征多项式,方程/=称 为方阵A的特征方程,特征值即为特征方程 的根。由于/是的n次多项式,所以方 程/(λ)=0在复数域内有η个根(重根按重数 计算)
满足这个方程的 和 就是我们要求的特征 值和特征向量。 （6-2）式是含个 方程的 元齐次线性方程 组，它有非零解的充要条件是 （6-3) 记作 （6-4） 称 为方阵A的特征多项式，方程 称 为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程 的根。由于 是 的 次多项式，所以方 程 在复数域内有 个根（重根按重数 计算）。 x n n I - A 0 = 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) 0 n n n n nn a a a a a a f a a a − − − − − − = = − − − f ( ) f ( ) 0 = f ( ) n f ( ) 0 = n
矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤: 第一步:求特征值。先通过行列式(64) 的计算,写出其特征多项式,这一步的 难度是计算一个高阶的矩阵的行列式,需 要很大的计算工作量; 第二步:并进行因式分解/)=(4-42-4)-(2-4 然后求出特征方程(=的全部根442…4 这就是A的所有特征值; 第三步:把每个特征值λ分别代入方程,求 齐次线性方程组λAx=0的非零解,它就 是A对应于特征值λ的一个特征向量(不是 惟一的)
矩阵A的特征值和特征向量的计算步骤： 第一步：求特征值。先通过行列式（6-4） 的计算，写出其特征多项式 ，这一步的 难度是计算一个高阶的矩阵的行列式，需 要很大的计算工作量； 第二步：并进行因式分解 然后求出特征方程 的全部根 这就是A的所有特征值； 第三步：把每个特征值 分别代入方程，求 齐次线性方程组 的非零解 ，它就 是A对应于特征值 的一个特征向量（不是 惟一的）。 f () ( ) ( )( ) ( ) 1 2 n f = − − − f () = 0 n , , , 1 2 i ( ) i I - A x 0 = pi i
324 例64求矩阵A=202的特征值和特征向 4 解:A的特征多项式 λ-3-2-4 nI-Al (+1)2(2-8) 所以A的全部特征值为4==-14=8 对于特征值λ=4--1解齐次线性方程组 -A)x=0,即 424 0 2-4‖x30 可得它的一个基础解系
例6.4 求矩阵 的特征值和特征向 量。 解： A的特征多项式 所以A的全部特征值为 对于特征值 解齐次线性方程组 ，即 可得它的一个基础解系 324 2 0 2 423 = A 2 3 2 4 2 2 ( 1) ( 8) 4 2 3 − − − − = − − = + − − − − I A 1 2 3 = = − = 1, 8 1 2 = = −1, (-I - A)x = 0 1 2 3 4 2 4 0 2 1 1 0 4 2 4 0 x x x −−− − − − = −−−
22-0所以k+k2(k都不为 零)是A对应于特征值4--的全部特征向量。 对于特征值,解齐次线性方程组 得它的个基础解系 (8I-A)x=0 2,所以 是A对应于特征 k2532(k3≠0) 值8的全鄱特征向量
所以 都不为 零）是A对应于特征值 的全部特征向量。 对于特征值 ，解齐次线性方程组 ，得它的一个基础解系 ，所以 是A对应于特征 值8的全部特征向量。 1 1 2 , 0 , 0 1 − − = = 1 2 ξ ξ 1 2 1 2 k k k k + ( , 1 2 ξ ξ 1 = −1 3 = 8 ( I - A)x 0 8 = 2 1 2 = 3 ξ 3 3 k k ξ3 ,( 0)