西安电子科技大学：《工程线性代数》（MATLAB版）第七章 线性代数在后续课程中的应用举例

第七章线性代数在后续课程中的应用 举例 ■7.1电路 7.2信号与系统课程 7.3数字信号处理 74静力学 7.5运动学 7.6测量学 7.7文献管理 7.8经济管理

第七章 线性代数在后续课程中的应用 举例  7.1 电路  7.2 信号与系统课程  7.3 数字信号处理  7.4 静力学  7.5 运动学  7.6 测量学  7.7 文献管理  7.8 经济管理

7.1电路 例7.1电阻电路的计算 如图7-1的电路。已知:R=292,R=42, R3=12,R=492,R=129,R=492, R2=29,设电压源=10V,求,m4,。 U4 图7-1应用实例7.1的电路图

7.1 电路 例7.1 电阻电路的计算 如图7-1的电路。已知： =2, =4, =12, =4, =12, =4, =2，设电压源 =10v，求 ， ， 。 图7-1 应用实例7.1的电路图 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 S u 3 i 4 u 7 u

解:用回路电流法进行建模。选回路如图, 设每个网孔。 按图可列出各的回路电流分别为,和 。据根基尔霍夫定律,任何回路中诸元件 上的电压之和等于零回路的电压方程为 (R1+R2+R3)n-R3b= R3an+(R3+R4+R5)b-R2=0 Rb+(R3+R6+R)2=0 写成矩阵「R+R+R-R 形式为: R3+ R4+Rs R5R5+R6+R7

解：用回路电流法进行建模。选回路如图， 设每个网孔。 按图可列出各的回路电流分别为 ， 和 。据根基尔霍夫定律，任何回路中诸元件 上的电压之和等于零回路的电压方程为： 写成矩阵 形式为： 1 2 3 3 3 3 4 5 5 5 5 6 7 0 1 0 0 0 a b s c R R R R i R R R R R i u R R R R i       + + −       − + + − =             − + +       a i b i c i 1 2 3 3 3 3 4 5 5 5 5 6 7 ( ) ( ) 0 ( ) 0 a b s a b c b c R R R i R i u R i R R R i R i R i R R R i + + − = − + + + − = − + + + =

也可把参数代入,直接列出数字方程 1228-1 028 简写成A*=bus 其中[;;]。今=10,解此矩阵方程, 即可得问题的解。 因此,可列出 MATLAB程序ea701

也可把参数代入，直接列出数字方程 简写成 A*I=b* us 其中I=[ ； ； ]。今 =10，解此矩阵方程， 即可得问题的解。 因此，可列出MATLAB程序ea701 18 12 0 1 12 28 12 0 . 0 12 18 0 a b s c i i u i       −       − − =             −       a i b i c i s u

A=[18,-12,0;-12,28,-12;0,-12,18]; b=[1;0;0,Us=10 U=rref([A, b*us]) 程序运行的结果为: 1.0000 0 0:0.9259 U0= 01.0000 0:0.5556 0 01.0000:0.3704 意味着 0.9259 lb 0.5556 0.3704

A=[18,-12,0; -12,28,-12; 0,-12,18]; b=[1;0;0]; us=10; U=rref([A,b*us]) 程序运行的结果为： 意味着 1.0000 0 0 0.9259 0 1.0000 0 0.5556 0 0 1.0000 0.3704     =       U0 0.9259 0.5556 0.3704 a b c i i i         = =             I

7.2信号与系统课程 例7.3线性时不变系统的零输入响 描述n阶线性时不变(LT)连续系统的微分 方程为 n-1 y da ta +…+an2+an1y=b1m+…+bnx+bm12 dt 已知y及其各阶导数的初始值为y(0), y(1)(0),…,y(n-1)(0),求系统的零输入响

7.2 信号与系统课程 例7.3 线性时不变系统的零输入响 描述n阶线性时不变（LTI）连续系统的微分 方程为 n≥m 已 知 y 及 其 各 阶 导 数 的 初 始 值 为 y(0) ， y(1)(0)，…，y(n-1)(0)，求系统的零输入响 应。 , d d d d d d d d d d 1 1 1 1 1 2 b u t u b t u a y b t y a t y a t y a m m m m n n n n n + + − + ++ + = ++ +

解:■建模 当LT系统的输入为零时,其零输入响应为 微分方程的齐次解(即令微分方程等号右 端为0),其形式为(设特征根均为单根) y()=C1e+C2en+…+C,e 其中p1,p2,…,pn是特征方程 a14n+a2n-1+.+an+an+1=0的根,它 们可用 roots(a)语句求得。各系数C1,…, Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。对此

解：◼ 建模 当LTI系统的输入为零时，其零输入响应为 微分方程的齐次解（即令微分方程等号右 端为0），其形式为（设特征根均为单根） 其中p1，p2，…，pn是特征方程 a1n+a2n-1+…+ an+ an+1 =0的根，它 们可用roots(a)语句求得。各系数C1，…， Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。对此 有 1 2 1 2 ( ) e e e n p t p t p t n y t C C C = + + +

C1+C2+.+Cn=y0 y0=y(0) p1C1+p2C2+.+pnCn=Dy0(Dy0表示y 的导数的初始值y(1)(0) +nC2+…+pnC.=D 写成矩阵形式为 2:

C1+ C2+…+Cn = y0 y0 = y(0) p1C1+ p2C2+…+ pnCn=Dy0 (Dy0表示y 的导数的初始值y(1)(0)) ………………………………… 写成矩阵形式为 1 1 1 1 1 1 2 2 0 D n n n n n n p C p C p C y − − − − + + + =             =                         − − − − 0 1 0 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 D D 1 1 1 y y y C C C p p p p p p n n n n n n n         

即Vc=Y0 其解为C=V\Y0 式中C=CC2…,Cn ν为范德蒙矩阵,在 MATLAB的特殊矩阵 库中有 vandel函数可直接生成

即 V·C = Y0 其解为 C =V \ Y0 式中 V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵 库中有vander函数可直接生成。 1 1 2 0 0 0 [ , , , ] ; [ , D , , D ] n C C C y y y n − = = T T C Y0             = − −1 −1 2 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n p p p p p p        V

MATLAB程序ea703m a= input(输入分母系数向量a=[a1,a2,…=); n=length(a)-1 YO= input(输入初始条件向量Y=y0,Dyo, D2y0,…= p=roots(a), V=roto(vander(p)); C= VYO dt=input('dt=); tf=input(=) t=0 dt: tf; y=zeros(1, length(t)) for k=1 n y= y+c(k)*exp(p(k)*t) end plot(t, y), grid

MATLAB程序ea703.m a=input('输入分母系数向量a=[a1，a2，...]= '); n=length(a)-1; Y0=input(‘输入初始条件向量 Y0=[y0，Dy0， D2y0，...]= '); p=roots(a);V=rot90(vander(p));c= V\Y0'; dt=input('dt='); tf=input('tf= ') t=0:dt:tf; y=zeros(1，length(t)); for k=1:n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t，y)，grid