与 ed(a+a) n ) 即可得到 (a+x2)12(2n) 12.计算g(a)= arctan ax 解g(a)=, arctan ard1 ena x(1+a2x2) 在最后一个积分中,令1=√x2-1,则 dt 1+a 1+a2+a aa1+ 13.设f(x)在0+∞)上连续,且limf(x)=0,证明 f(ax)-f(bx) a,b>0 证设A">A>0 ∫(ax)-f(bx) Af(ax) dx f(bx) =[f(51)-f(2)n b 最后一个等式利用了积分中值定理,其中5在aA与b之间,点2在a4 与b4"之间。令!→+0,A”→+,则5→0,52→+∞,由f(x)在0.+∞ 上连续,且limf(x)=0,即得 f(ax)-f(bx) d f(o)In b 14.(1)利用∫。cd=2推出L(1 1 2 2 (2 1)!! ( 1) 2 n n n n n d n a a da ⎛ ⎞ − − − ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ − 与 2 2 1 ( 1) ( ) n n n n n a a x a x 1 ! + ∂ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ∂ + ⎝ ⎠ + ， 即可得到 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) n n a x dx I = π 2 2 1 2(2 )!! (2 1)!! + − − n a n n 。 12．计算 ∫ +∞ − = 1 2 2 1 arctan ( ) dx x x x g α α 。 解 ∫ ∫ +∞ +∞ + − = − = − 1 2 2 2 1 2 (1 ) 1 sgn 2 1 ( ) arctan 1 dx x x x x g xd α α α π α α 。 在最后一个积分中，令 1 2 t = x − ，则 ∫ +∞ + + + = − 0 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) sgn 2 ( ) dt t x t g α α α α π α ∫ +∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + + = − 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sgn 2 dt α α t t α α α π = [ ] 2 sgn | | 1 1 2 α α α π ⋅ + − + 。 13．设 f (x)在[0,+∞)上连续，且 lim ( ) = 0 →+∞ f x x ，证明 a b dx f x f ax f bx (0)ln ( ) ( ) 0 = − ∫ +∞ （a,b > 0）。 证 设 A′′ > A′ > 0， = − ∫ ′′ ′ dx x A f ax f bx A ( ) ( ) ∫ ∫ ′′ ′ ′′ ′ − A A A A dx x f bx dx x f (ax) ( ) ∫ ∫ ′′ ′ ′′ ′ = − bA b A aA aA dx x f x dx x f (x) ( ) ∫ ∫ ′′ ′′ ′ ′ = − b A aA bA aA dx x f bx dx x f (ax) ( ) a b = [ f (ξ 1 ) − f (ξ 2 )]ln ， 最后一个等式利用了积分中值定理，其中ξ 1在aA′与bA′之间，ξ 2 在aA′′ 与bA′′之间。令 A′ → +0，A′′ → +∞，则ξ1 → 0, ξ 2 → +∞，由 在 上连续，且 ，即得 f (x) [0,+∞) lim ( ) = 0 →+∞ f x x a b dx f x f ax f bx (0)ln ( ) ( ) 0 = − ∫ +∞ 。 14．（1）利用 0 2 2 π = ∫ +∞ − e dy y 推出 y c c y L c e dy e 2 0 2 ( ) 2 2 2 − +∞ − − = = ∫ π （c > 0）； 7