13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 第10页 所以 L(Dx, Du)g(ar +by)=l(a, b)g(ar by). 因此,当L(a,b)≠0时,就有 LD2,D2)9 g()(ar+by) (a, 69(ar +by 例5求解方程 02 y2=12(x 解先求特解.方程显然符合推论1的条件.所以特解为 (x+y) (x+y)3=(x+y) 容易求出相应齐次方程的通解,从而得出非齐次方程的通解 t wla ★L(a,b)=0的情形 先考虑一个特殊的一阶非齐次偏微分方程 (Dx-aDy)u=rvl(y+az), 相应的 Lagrange辅助方程组为 w(y+ar) 于是y+ax=c,从而求得 所以 npxy(y+ar r+12+1y(g+ax) 反复利用这个结果,还可以进一步得到 (D-①D(y+ar)=+b”+v(y+ax). 例6求解(D≥-6DDy+9D3)u=6x+2y,即 解例3已求出相应齐次方程的通解xo(y+3r)+v(y+3x) 非齐次方程的特解为 (Dx -3Dy)213.3 ~Xê‚5šàg ‡©§Ï) 1 10  ¤± L(Dx, Dy)g(ax + by) = L(a, b)g (n) (ax + by). Ïd§L(a, b) 6= 0ž§Òk 1 L(Dx, Dy) g (n) (ax + by) = 1 L(a, b) g(ax + by). ~5 ¦)§ ∂ 2 v ∂x2 + ∂ 2 v ∂y2 = 12(x + y)© ) k¦A)©§w,ÎÜíØ1^‡©¤±A) v0 = 12 D2 x + D2 y (x + y) = 12 ¡ 1 2 + 12 ¢ · 3! (x + y) 3 = (x + y) 3 . N´¦ÑƒAàg§Ï)§l њàg§Ï) v = (x + y) 3 + φ(x + iy) + ψ(x − iy). F L(a, b) = 0œ/© kćAÏšàg ‡©§ (Dx − αDy)u = x rψ(y + αx), ƒALagrange9ϐ§| dx 1 = dy −α = du xrψ(y + αx) . u´y + αx = c§l ¦ u = 1 r + 1 x r+1ψ(c) = 1 r + 1 x r+1ψ(y + αx). ¤±§k 1 Dx − αDy x rψ(y + αx) = 1 r + 1 x r+1ψ(y + αx). ‡E|^ù‡(J§„Œ±?Ú 1 (Dx − αDy) k x rψ(y + αx) = r! (r + k)!x r+kψ(y + αx). ~6 ¦)(D 2 x − 6DxDy + 9D 2 y)u = 6x + 2y§= (Dx − 3Dy) 2 u = 6x + 2y. ) ~3®¦ÑƒAàg§Ï)xφ(y + 3x) + ψ(y + 3x)© šàg§A) u0 = 1 (Dx − 3Dy) 2 (6x + 2y) = 2 (Dx − 3Dy) 2 (3x + y) = x 2 (y + 3x).