13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 第9页 公式得证 4.若f(x,y)=rmy",则可将1/L(Dx,D3)展开为Dx,Dy的幂级数,而后求出特解 例4求非齐次方程(D2-2DD+D2)u=12xy的通解 解方程的特解可取为 D2-2D2 Dy+ Day(Dr-)2y 12 厉(-D)m=m+2D+ 2 D ay+ D2 D3 其中利用了 D 2 dr2 dx324 相应齐次方程的通解已在例2中求出,故非齐次方程的通解为 u=xo(x+y)+(x+y)+r+2x y 将1/L(Dx,D)展开时可以有不同的方法,因而得到不同的结果.例如,在上面 的例题中,也可以得到 D D2 因此,非齐次方程的特解也可以取为 12 D,2y=2xy+y 这两种办法得到的特解之差 x3y-2xy3-y4=(x-y)(x+y)3=2r(x+y) 正是相应齐次方程的解 推论1若非齐次项为f(ax+by),且L(Dx,Dy)是Dx,D3的齐(n)次式,则 Dig(ar+ by )=a g(ar+by), Dsg(az +by)=bg(s(ar+by)13.3 ~Xê‚5šàg ‡©§Ï) 1 9  úªy© 4. ef(x, y) = x my n§KŒò1/L(Dx, Dy)ÐmDx, Dy?ê§ ￾¦ÑA)© ~4 ¦šàg§(D 2 x − 2DxDy + D 2 y)u = 12xyÏ)© ) §A)Œ u0 = 12 D2 x − 2DxDy + D2 y xy = 12 (Dx − Dy) 2 xy = 12 D2 x µ 1 − Dy Dx ¶−2 xy = 12 D2 x · 1 + 2Dy Dx + · · · ¸ xy = 12 D2 x · xy + 2 Dx x ¸ = 12 · y 1 D2 x x + 2 D3 x x ¸ = 12 · 1 6 x 3 y + 1 12 x 4 ¸ = x 4 + 2x 3 y, Ù¥|^ 1 Dx x = 1 2 x 2 ³ ∵ d dx x 2 2 = x ´ , 1 D2 x x = 1 6 x 3 ³ ∵ d 2 dx2 x 3 6 = x ´ , 1 D3 x x = 1 24 x 4 ³ ∵ d 3 dx3 x 4 24 = x ´ . ƒAàg§Ï)®3~2¥¦Ñ§šàg§Ï) u = xφ(x + y) + ψ(x + y) + x 4 + 2x 3 y. ò1/L(Dx, Dy)ÐmžŒ±kØӐ{§Ï ØÓ(J©~X§3þ¡ ~K¥§Œ± 1 (Dx − Dy) 2 = 1 D2 y ³ 1 − Dx Dy ´−2 = 1 D2 y h 1 − 2 Dx Dy + · · · i . Ïd§šàg§A)Œ± u0 = 12 (Dx − Dy) 2 xy = 2xy 3 + y 4 . ùü«{A)ƒ x 4 + 2x 3 y − 2xy 3 − y 4 = (x − y)(x + y) 3 = 2x(x + y) 3 − (x + y) 4 ´ƒAàg§)© íØ1 ešàg‘f(ax + by)§…L(Dx, Dy)´Dx, Dyà(n)gª§K D r xg(ax + by) = a r g (r) (ax + by), D s yg(ax + by) = b s g (s) (ax + by).