13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 第8页 上述求解过程中注意两点.第一,在求出了第一个方程的解(含有积分常数c)后 需代入第二个方程,以消去x,其代价是引入了积分常数c;在求出第二个方程的 解后,又需反过来消去积分常教.第二,在求解第二个方程时,不必再引进第二 个积分常数 若f( ),显然有 L(Dr, Dy) F(ia, ib) 因此,当a和b为实数,且L(Dx,D3)中的系数也为实数时, s sin(at +by)= m (az+b L(Dz, Dy) L(ia, ib) cos(ar +by )=Re ★如果L(Dx,Dy)是D2,D=D2和D的简单复合函数 L(Dx, D,)=G(D2, DrDy, D4) G(D2, D Dy, Di sin(ar +by) G(a 62) sin(ar+ by). G(D,D2D,D万(ax+b) 3.若f(x,y)=ex+g(x,y),则 L(Dr, Dy) +by 证注意 L(Dz, Du)earby g(a,y)=etyL(D2 +a, D,+6)g(a, y) 这样,就有 L(Dr, Dy) (Dx +a, Dy+b) g(r, y) az+b L(Dx +a, Dy+b)13.3 ~Xê‚5šàg ‡©§Ï) 1 8  þã¦)L§¥5¿ü:©1§3¦Ñ 1‡§)(¹kÈ©~êc) ￾￾￾ I\1‡§§±žx§Ùd´Ú\ È©~êc¶3¦Ñ1‡§ )￾￾￾§qI‡L5žÈ©~ê©1§3¦)1‡§ž§Ø72Ú?1 ‡È©~ê© 2. ef(x, y) = ei(ax+by)§w,k 1 L(Dx, Dy) e i(ax+by) = 1 F(ia, ib) e i(ax+by) . Ïd§aÚb¢ê§…L(Dx, Dy)¥Xꏏ¢êž§ 1 L(Dx, Dy) sin(ax + by) = Im · 1 L(ia, ib) e i(ax+by) ¸ , 1 L(Dx, Dy) cos(ax + by) = Re · 1 L(ia, ib) e i(ax+by) ¸ . F XJL(Dx, Dy)´D 2 x, DxDyÚD 2 y{üEÜ¼ê§ L(Dx, Dy) = G(D 2 x, DxDy, D2 y), K 1 G(D2 x, DxDy, D2 y) sin(ax + by) = 1 G(−a 2, −ab, −b 2) sin(ax + by), 1 G(D2 x, DxDy, D2 y) cos(ax + by) = 1 G(−a 2, −ab, −b 2) cos(ax + by). 3. ef(x, y) = e ax+byg(x, y)§K 1 L(Dx, Dy) e ax+byg(x, y) = eax+by 1 L(Dx + a, Dy + b) g(x, y). y 5¿ Dx £ e ax+by g(x, y) ¤ = e ax+by(Dx + a)g(x, y), Dy £ e ax+by g(x, y) ¤ = e ax+by(Dy + b)g(x, y), Ïd L(Dx, Dy)eax+by g(x, y) = eax+byL(Dx + a, Dy + b)g(x, y). ù§Òk L(Dx, Dy) ½ e ax+by 1 L(Dx + a, Dy + b) g(x, y) ¾ = e ax+byL(Dx + a, Dy + b) ½ 1 L(Dx + a, Dy + b) g(x, y) ¾ = e ax+by g(x, y).