001 (5)A=010 20 100 430 (7)A 3-20 解:数字表示特征值,紧接在后的向量就是ⅵ应的一个特征向量 (1)7,(1,1);-2,(5,-4) (2)ai,(1,i);-ai,(i,1) (3)2,k(1,1,0.0)+l(1,0,1,0)+m(1,0,0,1);-2,(-1,1,1,1) (5)1,k(1,0,1)+l(0,1,0);-1,(-1,0,1) (6)-3,(1,1,1);2,(1,1,-4) (7)2,(0,0,1);1,(-1,1,8) 2.设λ1,λ是线性变换相的两个不同的特征值,ε1,ε2分别是相的属于特征值λ1,λ2的特征向量 证明:ε1+ε2不是相的特征向量 证明:(反证)如果1+ε2是相的属于某个特征值λ的特征向量,则 相∈1+2)=0(1+E2) 又相1+2)=柑1+椎2=A1E1+A22,所以 (A1-0)E1+(入2-0)2=0. 由A1≠A2可得=1,E线性无关,因此 得到A1=A0=入2,矛盾 3.证明:如果线性变换相以每个非零向量作为它的特征向量,则相为标量乘积变换 证明:设对某个非零向量a有相=ka,对另一个非零向量,有相=mB.如果k≠m,则根据 习题2的结论,α+β不是相的特征向量.如果a+β=0,则有祁=一相=-kα=k,与k≠m矛盾 因此α+β是非零向量,与题设矛盾 4.证明:AB与BA有同的特征值 证明:根据习题4-8的第4题,当|4|≠0,AC=CA时,有 a B C D =JAD-CB 因此 JAE-ABI 又因 0 EAE B\0 E E A E0八AE八(E0 B aE 两边取行列式,即得 E A ae B B AE 「此AB与BA有同的特征多项式,从而有同的特征值(5) A =   0 0 1 0 1 0 1 0 0   ; (6) A =   0 −2 −1 −2 0 −1 −1 −3 1   ; (7) A =   4 3 0 −3 −2 0 2 −6 2   . : 6!34 , "#$*+%1A&*+. (1) 7, (1, 1); −2, (5, −4). (2) ai, (1, i); −ai, (i, 1). (3) 2, k(1, 1, 0, 0) + l(1, 0, 1, 0) + m(1, 0, 0, 1); −2, (−1, 1, 1, 1). (4) 2, (−2, 1, 0); 1 + √ 3, (−3, 1, −2 + √ 3); 1 − √ 3, (−3, 1, −2 − √ 3). (5) 1, k(1, 0, 1) + l(0, 1, 0); −1, (−1, 0, 1). (6) −3, (1, 1, 1); 2, (1, 1, −4). (7) 2, (0, 0, 1); 1, (−1, 1, 8). 2.  λ1, λ2 1 ab A `@B , ε1, ε2 NO1 A '8 λ1, λ2 *+. : ε1 + ε2 @1 A *+. : (() op ε1 + ε2 1 A '8) λ0 *+, A(ε1 + ε2) = λ0(ε1 + ε2). T A(ε1 + ε2) = Aε1 + Aε2 = λ1ε1 + λ2ε2, &' (λ1 − λ0)ε1 + (λ2 − λ0)ε2 = 0.  λ1 6= λ2 !R ε1, ε2 KL, X λ1 − λ0 = 0, λ2 − λ0 = 0, R λ1 = λ0 = λ2, *+. 3. : op ab A ',-*+.0*+, A +/0ab. : 1)-*+ α g Aα = kα, 12-*+ β, g Aβ = mβ. op k 6= m, H3 4/ 2 56, α + β @1 A *+. op α + β = 0, g Aβ = −Aα = −kα = kβ, d k 6= m *+. X α + β 1-*+, d/*+. 4. : AB d BA gAB . : H34/ 4–8 7 4 /, 8 |A| 6= 0, AC = CA 9, g ¯ ¯ ¯ ¯ A B C D ¯ ¯ ¯ ¯ = |AD − CB|. X ¯ ¯ ¯ ¯ λE B A E ¯ ¯ ¯ ¯ = |λE − AB|. T µ 0 E E 0 ¶ µ λE B A E ¶ µ 0 E E 0 ¶ = µ E A B λE ¶ , `:C;[;, MR ¯ ¯ ¯ ¯ E A B λE ¯ ¯ ¯ ¯ = |λE − BA| = ¯ ¯ ¯ ¯ λE B A E ¯ ¯ ¯ ¯ = |λE − AB|. X AB d BA gAB9:;, #$gAB . · 7 ·