123 (2)213|;(3)2 an(a1≠0) 336 并问它们的特征向量是否两两正交? 1-A 解(1)①A-aE (-2)(-3) 故A的特征值为A1=2,2=3. ②当λ1=2时,解方程(A-2E)x=0,由 1-1 (A-2E)= 得基础解系P 00 所以k1P(k1≠0)是对应于1=2的全部特征值向量 当λ2=3时,解方程(A-3E)x=0,由 (A-3E)/-2 21)-(00得基础解系2=2 所以k2P2(k2≠0)是对应于3=3的全部特征向量 ⑧P,Pl=PP=(12|=≠0 故P1,P不正交 元2 (2)①A-AE=21-13|=-4(+1)(4-9 36- 故A的特征值为A1=0,2=-1,=9. ②当=0时,解方程Ax=0,由 A=213~011得基础解系P=-1 336 000 故k1P(k1≠0)是对应于1=0的全部特征值向量 当2=-1时,解方程(A+E)x=0,由 223)(223 A+E=223|~001得基础解系P2 337)(000 03 (1)         − 2 4 1 1 ; (2)           3 3 6 2 1 3 1 2 3 ; (3) ( ),( 0) 1 2 1 2 1                a a a a a a a n n   . 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1) ① ( 2)( 3) 2 4 1 1 = − − − − − − =     A E 故 A 的特征值为 1 = 2,2 = 3． ② 当 1 = 2 时,解方程 (A− 2E)x = 0 ,由                 − − − = 0 0 1 1 2 2 1 1 (A 2E) ~ 得基础解系         − = 1 1 P1 所以 ( 0) k1P1 k1  是对应于 1 = 2 的全部特征值向量． 当 2 = 3 时,解方程 (A− 3E)x = 0 ,由                 − − − = 0 0 2 1 2 1 2 1 (A 3E) ~ 得基础解系         − = 1 2 1 P2 所以 ( 0) k2P2 k2  是对应于 3 = 3 的全部特征向量． ③ 0 2 3 1 2 1 [ , ] ( 1,1) 1 2 1 2 =          − P P = P P = − T 故 1 2 P , P 不正交． (2) ① ( 1)( 9) 3 3 6 2 1 3 1 2 3 = − + − − − − − =       A E 故 A 的特征值为 1 = 0,2 = −1,3 = 9． ② 当 1 = 0 时，解方程 Ax = 0 ，由                     = 0 0 0 0 1 1 1 2 3 3 3 6 2 1 3 1 2 3 A ~ 得基础解系           − − = 1 1 1 P1 故 ( 0) k1P1 k1  是对应于 1 = 0 的全部特征值向量. 当 2 = −1 时,解方程 (A+ E)x = 0 ，由                     + = 0 0 0 0 0 1 2 2 3 3 3 7 2 2 3 2 2 3 A E ~ 得基础解系           − = 0 1 1 P2