第十四章稳定状态模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述,但是对于某些 实际问题,建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态,而是研究某种意义 下稳定状态的特征,特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值,在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程,而可 以利用微分方程稳定性理论,直接研究平衡状态的稳定性就行了。 本章先介绍平衡状态与稳定性的概念,然后列举几个这方面的建模例子 §1微分方程稳定性理论简介 定义1称一个常微分方程(组)是自治的,如果方程(组 d=F(x,1)= fN( 中的F(x,1)=F(x),即在F中不含时间变量t。 事实上,如果增补一个方程,一个非自治系统可以转化自治系统,就是说,如果定 F(x,) 且引入另一个变量s,则方程(1)与下述方程 是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统,这样的系统也称 为动力系统。 定义2系统 (2) dt 的相空间是以(x1…,xn)为坐标的空间R”,特别,当n=2时,称相空间为相平面 空间R中的点集 (x12…xn)x1=x、()满足(2)=1…,n} 称为系统(2)的轨线,所有轨线在相空间中的分布图称为相图 定义3相空间中满足F(x0)=0的点x称为系统(2)的奇点(或平衡点) 奇点可以是孤立的,也可以是连续的点集。例如,系统 = ax+ dt (3) =Cx+ dt 当ad-bc=0时,有一个连续的奇点的集合。当ad-bc≠0时,(0,0)是这个系统的 唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。为了知道何时有孤立奇点,给出下述定理 167-167- 第十四章 稳定状态模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义 下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可 以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。 本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。 §1 微分方程稳定性理论简介 定义 1 称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组） ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ( ) ( , ) ( , ) 1 f t f x t F x t dt dx N M （1） 中的 F(x,t) = F(x) ，即在 F 中不含时间变量t 。 事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定 义 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = t x y ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 ( , ) ( ) F x t G y 且引入另一个变量 s ，则方程（1）与下述方程 G( y) ds dy = 是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统，这样的系统也称 为动力系统。 定义 2 系统 F(x) dt dx = （2） 的相空间是以( , , ) 1 n x L x 为坐标的空间 n R ，特别，当n = 2 时，称相空间为相平面。 空间 n R 中的点集 {(x1,L, xn ) | xi = xi(t)满足(2),i =1,L,n} 称为系统（2）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。 定义 3 相空间中满足 F(x0 ) = 0的点 0 x 称为系统（2）的奇点（或平衡点）。 奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。例如，系统 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + cx dy dt dy t ax by dt dx t ( ) ( ) （3） 当 ad − bc = 0时，有一个连续的奇点的集合。当 ad − bc ≠ 0时，(0,0) 是这个系统的 唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。为了知道何时有孤立奇点，给出下述定理：