定理1设F(x)是实解析函数,且x系统(2)的奇点。若F(x)在点x0处的 acobian矩阵 J(x0) 是非奇异的,则x0是该系统的孤立奇点。 定义4设x是(2)的奇点,称 (i)x0是稳定的,如果对于任意给定的E>0,存在一个d>0,使得如果 0)-x0k,则x(1)-xkE对所有的t都成立。 (ⅱi)x是渐近稳定的,如果它是稳定的,且lim|x()-x。}=0。 这样,如果当系统的初始状态靠近于奇点,其轨线对所有的时间t仍然接近它,于 是说x是稳定的。另一方面,如果当1→>∞时这些轨线趋于x,则x是渐近稳定的。 定义5一个奇点不是稳定的,则称这个奇点是不稳定的 对于常系数齐次线性系统(3)有下述定理 定理2设x=x(1)是系统(3)的通解。则 (i)如果系统(3)的系数矩阵A的一切特征根的实部都是负的,则系统(3)的 零解是渐近稳定的 (i)如果A的特征根中至少有一个根的实部是正的,则系统(3)的零解是不稳 定的。 (ⅲi)如果A的一切特征根的实部都不是正的,但有零实部,则系统(3)的零解 可能是稳定的,也可能是不稳定的,但总不会是渐近稳定的。 定理2告诉我们:系统(3)的零解渐近稳定的充分必要条件是A的一切特征根的 实部都是负的 对于非线性系统,一般不可能找出其积分曲线或轨迹,也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难,在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统,用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解 定义6设x0是系统(2)的一个孤立奇点。称系统在x0点几乎是线性的,如果F 在x0的 Jacobian矩阵是非奇异的,即detJ(x0)≠0。 ,设F(x)在x=0的某邻域内连续,并有直到二阶连续偏导数,则由多元函数的 yor公式,可将F(x)展开成F(x)=Ax+O(lx),其中 是一个常数矩阵,这样得到的线性系统 d x = (4) dt 称为系统(2)的线性近似。一开始,人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的-168- 定理 1 设 F(x) 是实解析函数，且 0 x 系统（2）的奇点。若 F(x) 在点 0 x 处的 Jacobian 矩阵 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = j i x f J (x ) 0 是非奇异的，则 0 x 是该系统的孤立奇点。 定义 4 设 0 x 是（2）的奇点，称 （i） 0 x 是稳定的，如果对于任意给定的 ε > 0 ，存在一个 δ > 0 ，使得如果 | x(0) − x0 |< δ ，则| ( ) − |< ε 0 x t x 对所有的t 都成立。 （ii） 0 x 是渐近稳定的，如果它是稳定的，且lim | ( ) − 0 |= 0 →∞ x t x t 。 这样，如果当系统的初始状态靠近于奇点，其轨线对所有的时间t 仍然接近它，于 是说 0 x 是稳定的。另一方面，如果当t → ∞ 时这些轨线趋于 0 x ，则 0 x 是渐近稳定的。 定义 5 一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。 对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。 定理 2 设 x = x(t)是系统（3）的通解。则 （i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。 （ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。 （iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。 定理 2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。 对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解。 定义 6 设 0 x 是系统（2）的一个孤立奇点。称系统在 0 x 点几乎是线性的，如果 F 在 0 x 的 Jacobian 矩阵是非奇异的，即det J (x0 ) ≠ 0 。 设 F(x) 在 x = 0 的某邻域内连续，并有直到二阶连续偏导数，则由多元函数的 Taylor 公式，可将 F(x) 展开成 ( ) (| | ) 2 F x = Ax + O x ，其中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n n n n x f x f x f x f A L M M M L 1 1 1 1 是一个常数矩阵，这样得到的线性系统 Ax dt dx = （4） 称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的