原系统。但后来人们发现,这种看法是不对的,或至少说是不全面的,非线性系统中的 许多性质,在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题,也要在一定 条件下,才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题,我们有下述定理: 定理3如果系统(4)的零解是渐近稳定的,或不稳定的,则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而,如果系统(4)的零解是稳定的,则原系统的零解是不 定的,即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。 系统(3)在其系数矩阵A=/ab 的行列式detA≠0的条件下,可知(0.0)是 系统(3)的唯一的平衡点,它的稳定性由特征方程 det(a-An)=0 的根(特征根)决定 定理4设线性系统(3)所对应的特征方程是 22+p 0 其中p=-(a+d),q=ad-bc。设和2是它的根,则当q≠0时关于奇点O(0.0) 有下述结论 (i)A1<A2<0,O是稳定结点 (ⅱi)A1=A2<0,O是稳定退化结点 (i)1>2>0,O是不稳定结点 (ⅳv)A1=2>0,O是不稳定退化结点 (v)A1<0<λ2,O是不稳定鞍点; (v)A12=a±历,a<0,O是稳定焦点 (ⅶi)2=a±B,a>0,O是不稳定焦点 (vi)12=a±所,a=0,O是不稳定中心 定理5设非线性系统 +by+o(x, y) dt = ax+ by+y(x,y) 中的@和v满足条件 (i)在点O的某邻域内存在连续的一阶偏导数。 (ⅱi)存在常数d>0,使得 lim p(x,y)=limy(x,y) 又设系统(5)的一次近似系统(3)的特征方程的根没有零实部,则(5)式与(3)式 的奇点O的类型相同,并有相同的稳定性或不稳定性。 §2再生资源的管理和开发 渔业资源是一种再生资源,再生资源要注意适度开发,不能为了一时的高产“竭泽 而渔”,应该在持续稳产的前提下追求最高产量或最优的经济效益-169- 原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理： 定理 3 如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。 系统（3）在其系数矩阵 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = c d a b A 的行列式 det A ≠ 0 的条件下，可知(0,0) 是 系统（3）的唯一的平衡点，它的稳定性由特征方程： det(A− λI) = 0 的根λ （特征根）决定。 定理 4 设线性系统（3）所对应的特征方程是 0 2 λ + pλ + q = 其中 p = −(a + d ) ，q = ad − bc 。设λ1 和λ2 是它的根，则当 q ≠ 0时关于奇点O(0,0) 有下述结论： （i） 0 λ1 < λ2 < ，O 是稳定结点； （ii） 0 λ1 = λ2 < ，O 是稳定退化结点； （iii） 0 λ1 > λ2 > ，O 是不稳定结点； （iv） 0 λ1 = λ2 > ，O 是不稳定退化结点； （v） 1 2 λ < 0 < λ ，O 是不稳定鞍点； （vi）λ1,2 = α ± βi,α < 0 ，O 是稳定焦点； （vii）λ1,2 = α ± βi,α > 0 ，O 是不稳定焦点； （viii）λ1,2 = α ± βi,α = 0 ，O 是不稳定中心。 定理 5 设非线性系统 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + + ( , ) ( , ) ax by x y dt dy ax by x y dt dx ψ ϕ （5） 中的ϕ 和ψ 满足条件： （i）在点O 的某邻域内存在连续的一阶偏导数。 （ii）存在常数δ > 0 ，使得 0 ( , ) lim ( , ) lim 1 0 1 0 = = → +δ → +δ ϕ ψ r x y r x y r r ，（ 2 2 r = x + y ） 又设系统（5）的一次近似系统（3）的特征方程的根没有零实部，则（5）式与（3）式 的奇点O 的类型相同，并有相同的稳定性或不稳定性。 §2 再生资源的管理和开发 渔业资源是一种再生资源，再生资源要注意适度开发，不能为了一时的高产“竭泽 而渔”，应该在持续稳产的前提下追求最高产量或最优的经济效益