这是一类可再生资源管理与开发的模型,这类模型的建立一般先考虑在没有收获的 情况下资源自然増长模型,然后再考虑收获策略对资源增长情况的影响 2.1资源增长模型 考虑某种鱼的种群的动态。在建立模型之前,做如下的基本假设: (i)鱼群的数量本身是离散变量,谈不到可微性。但是,由于突然增加或减少的 只是单一个体或少数几个个体,与全体数量相比,这种增长率是微小的。所以,可以近 似地假设鱼群的数量随时间连续地,甚至是可微地变化。 (ⅱi)假设鱼群生活在一个稳定的环境中,即其增长率与时间无关 (i)种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果 (ⅳ)资源有限的生存环境对种群的繁衍,生长有抑制作用,而且这一作用与鱼群 的数量是成正比的。 记时刻t渔场中鱼量为x(1),我们可以得到x(1)所满足的 Logistic模型 i(1)=r(1-) x(0)=N 其中r是固有增长率,N是环境容许的最大鱼量。由分离变量法求得方程(6)解为 (6)式有两个平衡点,即x1=0,x2=N,其中x1是不稳定的,x2在正半轴内全局 稳定。 2.2资源开发模型 建立一个在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程,分析鱼量稳定的条件,并且在稳定的 前提下,讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。 设单位时间的捕捞量与渔场鱼量x()成正比,比例系数k表示单位时间捕捞率,k 可以进一步分解分解为k=qE,E称为捕捞强度,用可以控制的参数如出海渔船数来 度量;q称为捕捞系数,表示单位强度下的捕捞率。为方便取q=1,于是单位时间的 捕捞量为h(x)=Ex(1)。h(x)=常数,表示一个特定的捕捞策略,即要求捕鱼者每天 只能捕捞一定的数量。这样,捕捞情况下渔场鱼量满足方程 x(=rx(I E (7) 这是一个一阶非线性方程,且是黎卡提型的。也称为 Scheafer模型 希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的 趋向,并且由此确定最大持续产量。在平衡点处有一=0,方程(7)有两个平衡点 x1=0,x2=N(1-一)。显然,它们均是方程的解。 在E<r的情况下,x2是一正平衡点。(7)式可改写为 易知,当0<x<x2时,x(1)>0;x>x2时,x()<0,即平衡解x1是不稳定的,而 x2是稳定平衡解。即在捕捞强度E<r的情况下,渔场鱼量将稳定在x2的水平,因此 -170-170- 这是一类可再生资源管理与开发的模型，这类模型的建立一般先考虑在没有收获的 情况下资源自然增长模型，然后再考虑收获策略对资源增长情况的影响。 2.1 资源增长模型 考虑某种鱼的种群的动态。在建立模型之前，做如下的基本假设： （i）鱼群的数量本身是离散变量，谈不到可微性。但是，由于突然增加或减少的 只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增长率是微小的。所以，可以近 似地假设鱼群的数量随时间连续地，甚至是可微地变化。 （ii）假设鱼群生活在一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关。 （iii）种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果。 （iv）资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作用与鱼群 的数量是成正比的。 记时刻t 渔场中鱼量为 x(t) ，我们可以得到 x(t) 所满足的 Logistic 模型： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − 0 (0) ( ) (1 ) x N N x x& t rx （6） 其中 r 是固有增长率， N 是环境容许的最大鱼量。由分离变量法求得方程（6）解为 0 0 1 ( )/ ( ) e N N N N x t rt + − = − （6）式有两个平衡点，即 0 x1 = ， x2 = N ，其中 1 x 是不稳定的， 2 x 在正半轴内全局 稳定。 2.2 资源开发模型 建立一个在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的 前提下，讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。 设单位时间的捕捞量与渔场鱼量 x(t) 成正比，比例系数k 表示单位时间捕捞率，k 可以进一步分解分解为k = qE ，E 称为捕捞强度，用可以控制的参数如出海渔船数来 度量； q 称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率。为方便取 q = 1，于是单位时间的 捕捞量为 h(x) = Ex(t)。 h(x) = 常数，表示一个特定的捕捞策略，即要求捕鱼者每天 只能捕捞一定的数量。这样，捕捞情况下渔场鱼量满足方程 Ex N x x&(t) = rx(1− ) − （7） 这是一个一阶非线性方程，且是黎卡提型的。也称为 Scheafer 模型。 希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t 足够长以后渔场鱼量 x(t) 的 趋向，并且由此确定最大持续产量。在平衡点处有 = 0 dt dx ，方程（7）有两个平衡点 0 x1 = ， (1 ) 2 r E x = N − 。显然，它们均是方程的解。 在 E < r 的情况下， 2 x 是一正平衡点。（7）式可改写为 ( ) ( ) 2 x& t = −x x − x （8） 易知，当 2 0 < x < x 时， x&(t) > 0 ； 2 x > x 时， x&(t) < 0，即平衡解 1 x 是不稳定的，而 2 x 是稳定平衡解。即在捕捞强度 E < r 的情况下，渔场鱼量将稳定在 2 x 的水平，因此