普通最小二乘估计量的统计性质 基本假定下最小二乘估计值的统计性质 性质1：线性性，即最小二乘估计值是样本观测值Y的线性函数。 x∑Xy ∑x b=Y-bX 性质2：无偏性，即最小二乘估计值的（条件)数学期望等于总体参数。 E(b)=B,E(b2)=B2 证明如下： 由b2 ∑x2 由此，我们首先导关于k的几点性质： 0z4-.2-之}026 。x京·-资安 ®2x=1.24-22小-1 ④∑kx=∑kX=1。∑kx=∑k(X,-)=∑k,X∑k=∑kX,=1 由上述性质①~性质④，可以得到 ,-∑kg =∑k(B+B,X,+4) =B∑k+B∑kX+∑k4 =B,+∑k4, E(b)=B2+∑kE(4,)=B2,注意这里利用了基本假定1，即E(4,)=0 ·严格地说，以下证明的是最小二乘估计量的条件分布，为了简洁起见公式中均省略条件符号(X) 第1页，共6页普通最小二乘估计量的统计性质 第 1 页，共 6 页 基本假定下最小二乘估计值的统计性质 性质 1：线性性，即最小二乘估计值是样本观测值Yi 的线性函数。 2 22 2 i i ii i i ii i x y xY X y b x x x === ∑∑∑ ∑∑∑ 1 2 b Y bX = − 性质 2：无偏性，即最小二乘估计值的（条件）数学期望等于总体参数1 。 1 1 E( ) b B= ， 2 2 E( ) b B= 证明如下： 由 2 2 i i i x Y b x = ∑ ∑ ，定义 2 i i i x k x = ∑ ，则有 2 i i b kY = ∑ 由此，我们首先导关于 i k 的几点性质： ① 0 i ∑k = 。 0 i i i i 22 2 ii i x x XX k xx x ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ = ② 2 2 1 i i k x ∑ = ∑ 。 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 i 1 i i i i i x x k x x x ⎡ ⎤ = == ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ③ 1 i i ∑k x = 。 2 1 i ii i i x kx x x ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ④ 1 ii i i ∑ ∑ kx kX = = 。 ( ) 1 ii i i i i i i i ∑ ∑ ∑ ∑∑ k x k X -X k X -X k k X = = == 由上述性质①～性质④，可以得到 ( ) 2 1 2 1 2 2 i i i ii i i i ii i i b kY k B BX u B k B kX ku B ku = = ++ =+ + = + ∑ ∑ ∑∑∑ ∑ 22 2 () () E i i b B kE u B =+ = ∑ ，注意这里利用了基本假定 1，即 ( ) 0 E ui = 1 严格地说，以下证明的是最小二乘估计量的条件分布，为了简洁起见公式中均省略条件符号 ( ) ⋅| X