普通最小二乘估计量的统计性质 由b=Y-b,X,有E(b)=E(Y)-XE(b,) (1) 同时，由Y=B+B,X,+4,对该式两边求和并同除n 7=B+B,了+∑4，代入式(1)得 E(b)=E(Y)-XE(b,) =8+8+月∑4小B =B+BR+E∑4-BX =B, 这里同样利用了基本假定1，即E(4)=0,以及b的无偏性。 性质3：有效性，即最小二乘估计值在所有线性无偏估计量中具有方差最小性。 为了方便证明，首先讨论最小二乘估计值的方差公式。 根据方差的定义式，有ar(b)=E(色-E(b),ar(b)=E(-E(6) 再由最小二乘估计值的无偏性，有 Var(b)=E(b-B2),Var(b)=E(b-B) 由b=B,+∑k4,代入方差公式，有 ar,)=E(∑k4)' =E(k+…+k+2kk3442+…+2knkn4n4n) 即包含了u,的平方项，以及u,和u,的交叉项。利用基本假定2和基本假定3，有 ar()=E(kG+…+k) =kE(G)+…+kE() =o2∑k2 (2) 02 由b=∑k,g和b=了-b,x 2无偏性的证明只利用了基本假定1，与基本假定2和3无关，因此在后面两个假定不成立的情况下，最小 二乘估计值的无偏性仍然成立。 3注意，此处证明直接利用了同方差和无自相关的假定，如果这两个假定之一不成立，则式(2)和式(3) 所示的最小二乘估计值的方差公式将不再成立。在第四篇中我们也将讨论异方差情况下和存在自相关情况 下的最小二乘估计值的方差计算公式均需重新推导。 第2页，共6页普通最小二乘估计量的统计性质 第 2 页，共 6 页 由 1 2 b Y bX = − ，有 1 2 E( ) ( )- ( ) b E Y XE b = （1） 同时，由Y B BX u i ii =+ + 1 2 ，对该式两边求和并同除 n 1 2 1 Y B BX ui n =+ + ∑ ，代入式（1）得 1 2 12 2 12 2 1 () () ( ) 1 1 i i E b E Y XE b E B BX u BX n B BX E u BX n B = − ⎛ ⎞ = ++ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =+ + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∑ ∑ 这里同样利用了基本假定 1，即 ( ) 0 E ui = ，以及 2 b 的无偏性2 。 性质 3：有效性，即最小二乘估计值在所有线性无偏估计量中具有方差最小性。 为了方便证明，首先讨论最小二乘估计值的方差公式。 根据方差的定义式，有 () () ( ) 2 2 22 Var b E b E b = - ， () () ( ) 2 1 11 Var b E b E b = - 再由最小二乘估计值的无偏性，有 ( ) 2 2 22 Var b E b B = − ( ) ， ( ) 2 1 11 Var b E b B = − ( ) 由 2 2 i i b B ku = +∑ 代入方差公式，有 ( ) ( ) 2 2 22 22 1 1 1 2 1 2 -1 -1 ( ) 2 2 i i n n n nn n Var b E k u E k u k u kk uu k k u u = = +++ ++ ∑ "" "" 即包含了ui 的平方项，以及ui 和u j 的交叉项。利用基本假定 2 和基本假定 33 ，有 ( ) 22 22 2 11 22 22 1 1 2 2 2 2 ( ) () () n n n n i i Var b E k u k u kEu kEu k x σ σ = ++ = ++ = = ∑ ∑ "" "" （2） 由 2 i i b kY = ∑ 和 1 2 b Y bX = − 2 无偏性的证明只利用了基本假定 1，与基本假定 2 和 3 无关，因此在后面两个假定不成立的情况下，最小 二乘估计值的无偏性仍然成立。 3 注意，此处证明直接利用了同方差和无自相关的假定，如果这两个假定之一不成立，则式（2）和式（3） 所示的最小二乘估计值的方差公式将不再成立。在第四篇中我们也将讨论异方差情况下和存在自相关情况 下的最小二乘估计值的方差计算公式均需重新推导