普通最小二乘估计量的统计性质 b=7-b, =∑-（∑） =a少 =Σ](B+兵x+4) =B+Σg,+)4 =8+∑日4 上式利用了性质①∑k=0和性质④∑kx=∑kX,=1 a6)-日& =Σ4-空 =Σj-后ΣXkw)+2w时 (3) 。-0+ =02 ∑x2+n2 n∑x2 ∑x+n2-∑(X,-x)+n2 同时， =∑X2-2x∑X,+nx2+nx2 =∑x2 因此有，ar(6)=o ∑X n∑x 接下来即证在基本假定1-3成立的情况下，由式(2)和式(3)给出的最小二乘估计值 在所有线性无偏估计量中具有方差最小性。 任一线性无偏估计量根据定义可以一般地记作五=∑w,X,其中w,为类似于k,的权 第3页，共6页普通最小二乘估计量的统计性质 第 3 页，共 6 页 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 111 1 i ii i i i ii i i i ii i i b Y bX Y X kY n Xk Y n Xk B B X u n B Xk B Xk X Xk u nnn B Xk u n = − = − ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − ++ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ = −+ − + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =+ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ∑ 上式利用了性质① 0 i ∑k = 和性质④ 1 ii i i ∑kx kX = ∑ = ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2( ) () 1 0 1 i i i ii i i ii ii i i i i Var b E Xk u n E u X ku n E u E X u ku X E ku n n X n x X n x x nX n x σ σ σ σ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = −+ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ （3） 同时， 22 22 2 2 2 2 ( -) 2 i i i i i x nX X X nX X X X nX nX X += + = − ++ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 因此有， 2 2 1 2 ( ) i i X Var b n x = σ ∑ ∑ 接下来即证在基本假定 1-3 成立的情况下，由式（2）和式（3）给出的最小二乘估计值 在所有线性无偏估计量中具有方差最小性。 任一线性无偏估计量根据定义可以一般地记作 * 2 i i b wY = ∑ ，其中 wi 为类似于 i k 的权