普通最小二乘估计量的统计性质 系数，当w,=k时，b,即等于最小二乘估计量。又由于b,也是无偏估计量，因此有， E(b,)=B2 (4) 又有，E(b)=E(∑w,）=∑w,E()=∑w(B+B,X）=B∑w,+B2∑w,X, 因此要使式(4)成立，必须有以下两个条件同时成立 ∑w,=0和∑w,X,=1,因此有∑w,x=∑"，(X,-X)=∑"，X-X∑"，=1 则Var()=ar(∑w,)=∑w,YVar(化)=o2∑g2,注意，这里同样利用了基本假 定2和3。进一步地， a国-22 j+w克〔） =o2∑(w,-k)2+o2∑k+2o2∑(w,-k)k =Σ-kA+6 如果大，显签or因)》>0∑实=o@） 接下来的一个问题是如何得知σ2？ 对Y=B+B2X,+4,等式两边同时求均值，有Y=B,+B2X+ Y=B+B2X,+4,与了=B+B2X+五两式相减，有y=B2x+(4,-) 类似地，对Y,=b+b,X+e,等式两边同时求均值，有了=b+b,X， y=b+bX,+e,与了=b+b2两式相减，有y=bx,+e,或e=y-bx 代入y=B2x+(u-),有e,=B2x+(4-)-b2x=(B2-b2)x+(4,-) 对上式两端求平方和，有 ∑e=∑(B,-b)2x+∑(4，-2+2∑(B,-b)x(u,-m =(B,-b)2∑x+∑(4，-m2+2(B2-b)∑x(4,-m) 上式两边求数学期望，有 第4页，共6页普通最小二乘估计量的统计性质 第 4 页，共 6 页 系数，当 wi = i k 时， * 2 b 即等于最小二乘估计量。又由于 * 2 b 也是无偏估计量，因此有， * 2 2 E( ) b B = （4） 又有， ( ) ( ) ( ) * 2 12 1 2 ( ) E ii i i i i i i i b E wY wE Y w B B X B w B w X = = = += + ∑ ∑ ∑ ∑∑ 因此要使式（4）成立，必须有以下两个条件同时成立 0 ∑wi = 和 1 ∑w Xi i = ，因此有 () 1 ∑wx w X X wX X w ii i i i i i = ∑ ∑∑ −= − = 则 * 2 22 2 ( ) ( ) () Var b Var wY w Var Y w == = ∑∑ ∑ ii i i i σ ，注意，这里同样利用了基本假 定 2 和 3。进一步地， () () ( ) 2 * 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 i i i i i i i ii i i i i ii i i i i ii i i i x x Var b w x x x x xx w w x x xx w k k w kk w k x σ σ σσ σ σσ σ σ ⎛ ⎞ = −+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = −+ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = −+ + − = −+ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ 如果 w k i i ≠ ，显然 ( ) ( ) * 2 2 2 2 1 i Var b Var b x > = σ ∑ 接下来的一个问题是如何得知 2 σ ？ 对Y B BX u i ii =+ + 1 2 等式两边同时求均值，有Y B BX u = 1 2 + + Y B BX u i ii =+ + 1 2 与Y B BX u =+ + 1 2 两式相减，有 2 ( ) i ii y = Bx u u + − 类似地，对Y b bX e i ii = 1 2 + + 等式两边同时求均值，有Y b bX = +1 2 ， Y b bX e i ii =+ + 1 2 与Y b bX = +1 2 两式相减，有 i ii 2 y = bx e + ，或 ii i 2 e y bx = − 代入 2 ( ) i ii y = +− Bx u u ，有e Bx u u bx B b x u u i ii i ii = 2 2 22 + −− = − + − () () ( ) 对上式两端求平方和，有 ( ) ( ) 2 2 22 22 22 2 2 2 22 22 ( ) 2 ( )( ) ( ) 2( ) ( ) i i i ii i i ii e B b x u u B b xu u B b x u u B b xu u = − + −+ − − =− + −+ − − ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 上式两边求数学期望，有