普通最小二乘估计量的统计性质 E(∑g)=(∑)E[(B,-)]+E[∑u-]+2E[(B-b∑x4-] =(∑x)ar(@,)+E[∑(4-]+2E[B,-b,)∑x4-m] 记A=(∑x)ar(),B=E[∑(u,-m],C=2E[(B,-b)∑x(4-] 以下分别计算等式中三部分。 由前得到的最小二乘估计值的方差可以得到 4=②a6)-2o B=E[∑4-] =E[∑G-24+] n =no2-1E(∑4)} =(n-10o2 C-2E[(B,-b,)∑x(u-m)] =2B,E[∑x(4,-m)]-2E[b∑x(4,-] =0-2E[(∑k)∑x4-四] =-2E[(∑k(B+B,X+4)∑x4-四] =-2E[(k4+…k4,)(∑x4-∑x] =-2E(4++k马，)G4++x4,)+2E(k4++k4.)(x4+…+L++x++弘) 近+…kx +…k,mn =-222②Σw） =-2o2∑kx,+0 =-262 总结三部分的计算结果，有 E(∑e)=o2+(n-1)o2-2o2=(n-2)o2 第5页，共6页普通最小二乘估计量的统计性质 第 5 页，共 6 页 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 22 2 2 2 22 ( ) 2( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) i i i ii i i ii E e x E B b E u u E B b xu u x Var b E u u E B b x u u = − + −+ − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + −+ − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ 记 ( ) ( ) 2 A i 2 = ∑x Var b ， 2 ( ) BE uu i = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∑ ， 2 2 2( ) ( ) C E B b xu u i i =− − ⎡ ⎤ ⎣ ∑ ⎦ 以下分别计算等式中三部分。 由前得到的最小二乘估计值的方差可以得到 ( ) ( ) 2 2 22 i i 2 2 i A x Var b x x σ = == ∑ ∑ σ ∑ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (2 ) (2 ) 2 ( ) 1 ( 1) i i i i i i i i i i BE uu E u uu u u E u uu n u Eu E u n E n n n Eu n n σ σ = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = −+ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = −+ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = − +⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( )( ) () () 2 2 2 2 1 2 1 1 1 11 11 11 1 2( ) ( ) 2 ( )2 ( ) 02 ( ) 2 () 2 2 ( )2 ( i i ii ii ii i i i i i ii nn ii i n nn nn nn n C E B b xu u BE x u u E b x u u E kY x u u E k B BX u x u u E ku k u xu xu u u E ku k u xu x u E ku k u x x n =− − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = −− − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ =− − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =− + + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =− + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ + + =− + + + + + + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ "" ∑ ∑ " "" " " ( ) 1 2 2 2 2 2 2 1 1 111 11 1 1 2 2 2 2 ) 2( ) 2 2 2 2 0 2 n n n nni n n nn i ii i ii i i u u n u u u u E kxu k x u E kx kx k x k x n nn n x kxE u E ku n σ k x σ + + ⎛ ⎞ =− + + + + + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ =− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =− + = − ∑ ∑ ∑ ∑ " " " "" 总结三部分的计算结果，有 ( ) ( ) ( ) 22 22 2 12 2 Ee n n ∑ i = +− − =− σ σσ σ