普通最小二乘估计量的统计性质 即E 6 最小二乘估计值的协方差 由协方差的定义，有Cov(b,b2)=E(b-B)(b2-B2) 由7=b+b2x,有b=7-b2X,可得 Cov(b.b2)=E(Y-bX-B)(b2-B) 又由Y,=B,+B2X,+4,两端求均值有了=B,+B,X+π，代入上面协方差公式，有 Cov(b.b)=E(Y-b,X-B)(b2-B) =E(B+BX+i-bX-B)(b-B2) =E[(B2-b,)x+a](b,-B) -E(6-B)'+E[π(-B)] =-XVar(b2)+E[i(b2-B2) -r6-4) ∑x2 对于同时具有性质l~性质3的估计量，我们通常称为BLUE(Best Linear Unbiased Estimation)估计量，即最优线性无偏估计量。 如果进一步地有基本假定4，即认为随机误差项服从正态分布，那么根据最小二乘估计 量的线性性可知，最小二乘估计量也服从正态分布。性质2和性质3己经推导得到最小二乘 估计量的均值和方差，因此可以得到如下性质4。 性质4：正态性，即最小二乘估计值6~N[B, ∑x2 ∑X,-o]或 第6页，共6页普通最小二乘估计量的统计性质 第 6 页，共 6 页 即 2 2 2 i e E n σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ ∑ 最小二乘估计值的协方差 由协方差的定义，有Cov b ,b E b B b B ( ) 12 1 1 2 2 =− − ( )( ) 由Y b bX = +1 2 ，有 1 2 b Y bX = − ，可得 Cov b ,b E Y b X B b B ( ) 12 2 1 2 2 = −− − ( )( ) 又由Y B BX u i ii =+ + 1 2 ，两端求均值有Y B BX u = 1 2 + + ，代入上面协方差公式，有 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 2 1 2 2 1 2 2 12 2 22 2 2 2 22 22 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 i n n n i i Cov b ,b E Y b X B b B E B BX u bX B b B EB bXu b B XE b B E u b B XVar b E u b B X E ub E uB x u u X E ku k u x n X x = −− − = + +− − − = −+ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =− − + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =− + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ σ =− + − σ ⎛ ⎞ + + =− + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ σ = − ∑ ∑ ∑ " " 对于同时具有性质 1～性质 3 的估计量，我们通常称为 BLUE（Best Linear Unbiased Estimation）估计量，即最优线性无偏估计量。 如果进一步地有基本假定 4，即认为随机误差项服从正态分布，那么根据最小二乘估计 量的线性性可知，最小二乘估计量也服从正态分布。性质 2 和性质 3 已经推导得到最小二乘 估计量的均值和方差，因此可以得到如下性质 4。 性 质 4 ：正态性，即最小二乘估计值 ] ( ) ~ [ , 2 2 2 1 1 ⋅σ ∑ − ∑ n X X X b N B i i 或 2 1 1 2 1 ~ [ , （ ）σ ∑ + i x X n b N B ， ] 1 ~ [ , 2 2 2 2 ⋅σ ∑ i x b B