第9期 徐国清等：基于多级三角形面积函数的傅里叶形状描述子 ·1203· 一个好的形状描述子应当同时包含形状的全 局特征和局部细节信息，这两部分信息对于形状描 述和识别具有同样重要的作用.多级三角形面积函 数是在形状轮廓的不等弧长分割基础上产生的，不 同级别的面积函数描述了相距不同弧长的点所构成 的三角形面积.函数的级越小，对应的三角形顶点 间的弧长越小，倾向于描述形状的局部信息，而相 距较大弧长的点构成的三角形倾向于描述形状的全 局信息，对应函数的级较大 图2中a和b两形状是MPEG7图像库中的 属于同一类形状的两个样本，两形状的轮廓存在比 仿射形变更复杂的不规则形变，整体上相似而在局 部细节上存在较大差别.计算参数K=6时轮廓a和 b的多级三角形面积函数，可得到6级三角形面积 函数，该形状签名归一化后如图3所示 图1K=6时形成的三角形示例 Fig.1 Demonstration of triangles generated when K=6 对于轮廓线上的每一个点p,i=0,1,·,N-1, 均可以从轮廓的起始点po出发，走过长度为1的弧 米 米 到达该点，并且每点所对应的弧长1是唯一的，且每 点均可通过上述步骤构造出K个三角形.因此Sk 可以看作弧长的函数，其中=0,1，…，N-1,k=1, 2,·,K.按照三角形顶点之间的弧长大小，可以将 S分成K个函数，即S:={S0k,S1k,·,S(N-1)k}, 指 k=1,2,·,K,称之为多级三角形面积函数(mmti- level triangular area functions,MTA).与周横截三角 a的轮廓 b的轮廓 形面积函数不同，多级三角形面积函数不受中心距 图2MPEG-7形状库中同一种形状的两个样本 离函数的影响 Fig.2 Two samples of one category in the MPEG-7 shape 图像中形状发生平移和旋转时，形状轮廓线上 database 的任一点对应的多级三角形面积不发生改变，因此 从图3中可以看出，两形状的第1级和第2级 多级三角形面积函数对平移和旋转这两种仿射形变 三角形面积函数的曲线差异较大，很好地反映出形 具有不变性.为了使多级三角形面积函数在形状发 状a和b的局部细节差异：第3级函数的曲线较前 生缩放、错切等仿射形变时仍保持不变性，引入文 两级差异性减小：第46级所对应的函数曲线变得 献[12]中的轮廓归一化方法.轮廓归一化方法在提 非常接近，表明两形状的整体特征的相似性.因此 取多级三角形面积函数之前计算出轮廓坐标的协方 多级三角形面积函数可以很好地反映出两形状的局 差矩阵，利用所得的协方差矩阵对轮廓坐标进行变 部细节特征和全局特征，能够由粗到细地描述形状 换，将变换后的形状轮廓作为形状轮廓坐标的标准 特征，且能表示出存在复杂不规则形变的两形状的 形式.该轮廓归一化方法可消除不同轮廓之间的缩 差异性和相似性，具有较强的形状描述能力. 放和错切变换12.因此在轮廓标准形式基础上提取 从上述分析也可以看出，多级三角形函数的描 的多级三角形面积函数满足仿射形变不变性.由于 述能力受到参数K的影响.当K较小时，函数的 形状轮廓是闭合的，轮廓线的起始点位置可以发生级数较少，对形状的整体特征描述较强，描述不够 改变，此时多级三角形面积函数也随之改变，这给 细致：当K较大时，可以对轮廓线的划分较细，可 形状的匹配带来困难.为了消除轮廓线的起始点位 以较好地反映形状的细节特征.但是，K过大会减 置的影响，对多级三角形面积函数进行傅里叶变换. 少各级函数之间的差异性，增加计算复杂度.第 9 期 徐国清等：基于多级三角形面积函数的傅里叶形状描述子 1203 ·· 图 1 K =6 时形成的三角形示例 Fig.1 Demonstration of triangles generated when K=6 对于轮廓线上的每一个点 pi , i= 0, 1, · · · , N−1， 均可以从轮廓的起始点 p0 出发，走过长度为 l 的弧 到达该点，并且每点所对应的弧长 l 是唯一的，且每 点均可通过上述步骤构造出 K 个三角形. 因此 Sik 可以看作弧长的函数，其中 i= 0, 1, · · · , N −1，k=1, 2, · · · , K. 按照三角形顶点之间的弧长大小，可以将 Sik 分成 K 个函数，即 Si={S0k, S1k, · · · , S(N−1)k}, k=1, 2, · · · , K, 称之为多级三角形面积函数 (multi￾level triangular area functions，MTA). 与周横截三角 形面积函数不同，多级三角形面积函数不受中心距 离函数的影响. 图像中形状发生平移和旋转时，形状轮廓线上 的任一点对应的多级三角形面积不发生改变，因此 多级三角形面积函数对平移和旋转这两种仿射形变 具有不变性. 为了使多级三角形面积函数在形状发 生缩放、错切等仿射形变时仍保持不变性，引入文 献 [12] 中的轮廓归一化方法. 轮廓归一化方法在提 取多级三角形面积函数之前计算出轮廓坐标的协方 差矩阵，利用所得的协方差矩阵对轮廓坐标进行变 换，将变换后的形状轮廓作为形状轮廓坐标的标准 形式. 该轮廓归一化方法可消除不同轮廓之间的缩 放和错切变换[12] . 因此在轮廓标准形式基础上提取 的多级三角形面积函数满足仿射形变不变性. 由于 形状轮廓是闭合的，轮廓线的起始点位置可以发生 改变，此时多级三角形面积函数也随之改变，这给 形状的匹配带来困难. 为了消除轮廓线的起始点位 置的影响，对多级三角形面积函数进行傅里叶变换. 一个好的形状描述子应当同时包含形状的全 局特征和局部细节信息，这两部分信息对于形状描 述和识别具有同样重要的作用. 多级三角形面积函 数是在形状轮廓的不等弧长分割基础上产生的，不 同级别的面积函数描述了相距不同弧长的点所构成 的三角形面积. 函数的级越小，对应的三角形顶点 间的弧长越小，倾向于描述形状的局部信息，而相 距较大弧长的点构成的三角形倾向于描述形状的全 局信息，对应函数的级较大. 图 2 中 a 和 b 两形状是 MPEG-7 图像库中的 属于同一类形状的两个样本，两形状的轮廓存在比 仿射形变更复杂的不规则形变，整体上相似而在局 部细节上存在较大差别. 计算参数 K=6 时轮廓 a 和 b 的多级三角形面积函数，可得到 6 级三角形面积 函数，该形状签名归一化后如图 3 所示. 图 2 MPEG-7 形状库中同一种形状的两个样本 Fig.2 Two samples of one category in the MPEG-7 shape database 从图 3 中可以看出，两形状的第 1 级和第 2 级 三角形面积函数的曲线差异较大，很好地反映出形 状 a 和 b 的局部细节差异；第 3 级函数的曲线较前 两级差异性减小；第 4∼6 级所对应的函数曲线变得 非常接近，表明两形状的整体特征的相似性. 因此 多级三角形面积函数可以很好地反映出两形状的局 部细节特征和全局特征，能够由粗到细地描述形状 特征，且能表示出存在复杂不规则形变的两形状的 差异性和相似性，具有较强的形状描述能力. 从上述分析也可以看出，多级三角形函数的描 述能力受到参数 K 的影响. 当 K 较小时，函数的 级数较少，对形状的整体特征描述较强，描述不够 细致；当 K 较大时，可以对轮廓线的划分较细，可 以较好地反映形状的细节特征. 但是，K 过大会减 少各级函数之间的差异性，增加计算复杂度