下例说明即使点x沿任意直线趋于x0时,f(x,y)的极限都存在且 相等,仍无法保证函数∫在x处有极限。 例11.2.4设f(x,y) 2,(x,y)≠(0,0) y+x 当点x=(x,y)沿直线y=mx趋于(00)时,成立 nx-X lim f(, y)=lim x→>0nx+x 当点x=(x,y)沿y轴趋于(0,0)时,也成立mnf(x,y)=1,因此当点x=(x,y) 沿任何直线趋于(00)时,f(x,y)极限存在且相等。 但f(x,y)在点(00)的极限不存在。事实上,f在抛物线y2=x上的 值为0,因此当点x=(x,y)沿这条抛物线趋于(00)时,它的极限为0。下例说明即使点 x 沿任意直线趋于 0 x 时， f (x, y)的极限都存在且 相等，仍无法保证函数 f 在 0 x 处有极限。 例 11.2.4 设 , ( , ) (0,0) ( ) ( , ) 4 2 2 2  + − = x y y x y x f x y 。 当点 x = (x, y)沿直线 y = mx趋于(0,0) 时, 成立1 ( ) lim ( , ) lim 4 4 2 2 2 2 0 0 = + − = → = → m x x m x x f x y x y mx x ； 当点 x = (x, y)沿 y 轴趋于(0,0) 时，也成立lim ( , ) 1 0 0 = = → f x y x y ，因此当点 x = (x, y) 沿任何直线趋于(0,0) 时， f (x, y)极限存在且相等。 但 f (x, y)在点(0,0) 的极限不存在。事实上， f 在抛物线 y = x 2 上的 值为 0，因此当点 x = (x, y)沿这条抛物线趋于(0,0) 时，它的极限为 0