2.1节：向量范数 0由定义2.1.1可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值 函数，它具有下列性质： (四当×≠0时， =1 4口+4①，左·生·生分Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月4/70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 1 由定义 2.1.1 可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值 函数，它具有下列性质： (1) 当 x ̸= 0 时， 1 ||x||x = 1; (2) 对任意向量 x ∈ V，有 || − x|| = ||x||; (3)| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||; (4)| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x + y||; 性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为 ||x|| = ||x − y + y|| ≤ ||x − y|| + ||y||，所以 ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||. 同理可证 ||y|| − ||x|| ≤ ||y − x|| = || − (x − y)|| = ||x − y||， 即 ||x|| − ||y|| ≥ −||x − y||. 综上有 | ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||. 若用 −y 代替性质（3）中的 y，便得到性质（4） 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 4 / 70