《矩阵理论》 第二章向量与矩阵范数 数学科学学院 2021年9月 口+4①，，之·生生分Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月1/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 《矩阵理论》 第二章向量与矩阵范数 数学科学学院 2021 年 9 月 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 1 / 70
引言 在欧氏空间与酉空间中，我们通过向量的内积定义了下列的长度，对于 一般的线性空间，能否引入一个类似于长度而又比其更广泛的概念呢？ 这就是范数的概念。向量范数与矩阵范数是应用非常广泛的重要概念， 从范数可导出向量与向量，矩阵与矩阵之间的距离，进而引进向量序列 和矩阵序列收敛性问题，它是矩阵分析与计算的基础。 口+4y，艺是，是QQ 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月2/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 引言 在欧氏空间与酉空间中，我们通过向量的内积定义了下列的长度，对于 一般的线性空间，能否引入一个类似于长度而又比其更广泛的概念呢？ 这就是范数的概念。向量范数与矩阵范数是应用非常广泛的重要概念， 从范数可导出向量与向量，矩阵与矩阵之间的距离，进而引进向量序列 和矩阵序列收敛性问题，它是矩阵分析与计算的基础。 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 2 / 70
2.1节：向量范数 定义2.1.1向量范数 设V是数域P(R或C上的线性空间，如果对于任意x∈V按照某种法 则对应于一个非负实数×刘，且满足 4口+4四，，左·生·生Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月3/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 定义 2.1.1 向量范数 设 V 是数域 P(R 或 C) 上的线性空间，如果对于任意 x ∈ V 按照某种法 则对应于一个非负实数 ∥x∥，且满足： (1) 非负性：∥x∥ ≥ 0. 当且仅当 x = 0 时，∥x∥ = 0; (2) 齐次性：∥kx∥ = |k| ∥x∥; (3) 三角不等式：对任意 x, y ∈ V 总有，∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥; 则称实数 ∥x∥ 为线性空间 V 上向量 x 的范数. 简称向量范数. 定义了范 数的线性空间 V 称为赋范线性空间. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 3 / 70
2.1节：向量范数 定义2.1.1向量范数 设V是数域P(R或C上的线性空间，如果对于任意x∈V按照某种法 则对应于一个非负实数×‖，且满足 (1)非负性：x≥0.当且仅当x=0时，川x=0: 4口+4四，，左·生·生Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月3/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 定义 2.1.1 向量范数 设 V 是数域 P(R 或 C) 上的线性空间，如果对于任意 x ∈ V 按照某种法 则对应于一个非负实数 ∥x∥，且满足： (1) 非负性：∥x∥ ≥ 0. 当且仅当 x = 0 时，∥x∥ = 0; (2) 齐次性：∥kx∥ = |k| ∥x∥; (3) 三角不等式：对任意 x, y ∈ V 总有，∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥; 则称实数 ∥x∥ 为线性空间 V 上向量 x 的范数. 简称向量范数. 定义了范 数的线性空间 V 称为赋范线性空间. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 3 / 70
2.1节：向量范数 定义2.1.1向量范数 设V是数域P(R或C上的线性空间，如果对于任意x∈V按照某种法 则对应于一个非负实数×，且满足： (1)非负性：x≥0.当且仅当x=0时，x=0: (2)齐次性：k=内x 4口+4四，，左·生·生Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月3/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 定义 2.1.1 向量范数 设 V 是数域 P(R 或 C) 上的线性空间，如果对于任意 x ∈ V 按照某种法 则对应于一个非负实数 ∥x∥，且满足： (1) 非负性：∥x∥ ≥ 0. 当且仅当 x = 0 时，∥x∥ = 0; (2) 齐次性：∥kx∥ = |k| ∥x∥; (3) 三角不等式：对任意 x, y ∈ V 总有，∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥; 则称实数 ∥x∥ 为线性空间 V 上向量 x 的范数. 简称向量范数. 定义了范 数的线性空间 V 称为赋范线性空间. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 3 / 70
2.1节：向量范数 定义2.1.1向量范数 设V是数域P(R或C上的线性空间，如果对于任意x∈V按照某种法 则对应于一个非负实数川×，且满足： (1)非负性：x≥0.当且仅当x=0时，川x‖=0： (2)齐次性：k=内x (3)三角不等式：对任意xy∈V总有，Ix+yl≤x+ly: 4口+4四，，左·生，生Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月3/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 定义 2.1.1 向量范数 设 V 是数域 P(R 或 C) 上的线性空间，如果对于任意 x ∈ V 按照某种法 则对应于一个非负实数 ∥x∥，且满足： (1) 非负性：∥x∥ ≥ 0. 当且仅当 x = 0 时，∥x∥ = 0; (2) 齐次性：∥kx∥ = |k| ∥x∥; (3) 三角不等式：对任意 x, y ∈ V 总有，∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥; 则称实数 ∥x∥ 为线性空间 V 上向量 x 的范数. 简称向量范数. 定义了范 数的线性空间 V 称为赋范线性空间. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 3 / 70
2.1节：向量范数 定义2.1.1向量范数 设V是数域P(R或C上的线性空间，如果对于任意x∈V按照某种法 则对应于一个非负实数川×，且满足： (1)非负性：x≥0.当且仅当x=0时，川x=0: (2)齐次性：kx=1Mx: (3)三角不等式：对任意xy∈V总有，x+y≤x+y: 则称实数×为线性空间V上向量×的范数.简称向量范数.定义了范 数的线性空间V称为赋范线性空间， 4口+4·左·生·生分QG 矩阵理论课程组（数学科学学院）】 矩阵理论 2021年9月3/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 定义 2.1.1 向量范数 设 V 是数域 P(R 或 C) 上的线性空间，如果对于任意 x ∈ V 按照某种法 则对应于一个非负实数 ∥x∥，且满足： (1) 非负性：∥x∥ ≥ 0. 当且仅当 x = 0 时，∥x∥ = 0; (2) 齐次性：∥kx∥ = |k| ∥x∥; (3) 三角不等式：对任意 x, y ∈ V 总有，∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥; 则称实数 ∥x∥ 为线性空间 V 上向量 x 的范数. 简称向量范数. 定义了范 数的线性空间 V 称为赋范线性空间. 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 3 / 70
2.1节：向量范数 由定义2.1.1可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值 函数，它具有下列性质： 4口+4，法·生·生分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月4/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 1 由定义 2.1.1 可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值 函数，它具有下列性质： (1) 当 x ̸= 0 时， 1 ||x|| x = 1; (2) 对任意向量 x ∈ V，有 || − x|| = ||x||; (3)| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||; (4)| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x + y||; 性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为 ||x|| = ||x − y + y|| ≤ ||x − y|| + ||y||，所以 ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||. 同理可证 ||y|| − ||x|| ≤ ||y − x|| = || − (x − y)|| = ||x − y||， 即 ||x|| − ||y|| ≥ −||x − y||. 综上有 | ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||. 若用 −y 代替性质（3）中的 y，便得到性质（4） 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 4 / 70
2.1节：向量范数 0由定义2.1.1可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值 函数，它具有下列性质： (四当×≠0时， =1 4口+4①，左·生·生分Q0 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月4/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 1 由定义 2.1.1 可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值 函数，它具有下列性质： (1) 当 x ̸= 0 时， 1 ||x||x = 1; (2) 对任意向量 x ∈ V，有 || − x|| = ||x||; (3)| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||; (4)| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x + y||; 性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为 ||x|| = ||x − y + y|| ≤ ||x − y|| + ||y||，所以 ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||. 同理可证 ||y|| − ||x|| ≤ ||y − x|| = || − (x − y)|| = ||x − y||， 即 ||x|| − ||y|| ≥ −||x − y||. 综上有 | ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||. 若用 −y 代替性质（3）中的 y，便得到性质（4） 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 4 / 70
2.1节：向量范数 。由定义2.11可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值 函数，它具有下列性质： (四当x≠0时，×=1： (2)对任意向量x∈V,有‖-×=川x: 4口+4，法·生·生分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2021年9月4/70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 节: 向量范数 1 由定义 2.1.1 可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值 函数，它具有下列性质： (1) 当 x ̸= 0 时， 1 ||x||x = 1; (2) 对任意向量 x ∈ V，有 || − x|| = ||x||; (3)| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||; (4)| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x + y||; 性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为 ||x|| = ||x − y + y|| ≤ ||x − y|| + ||y||，所以 ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||. 同理可证 ||y|| − ||x|| ≤ ||y − x|| = || − (x − y)|| = ||x − y||， 即 ||x|| − ||y|| ≥ −||x − y||. 综上有 | ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||. 若用 −y 代替性质（3）中的 y，便得到性质（4） 矩阵理论课程组 (数学科学学院) 矩阵理论 2021 年 9 月 4 / 70
