《矩阵分析》 第五章矩阵函数及应用 李厚彪 Email:lihoubiao0189@163.com 数学科学学院 2020年9月15日 4口卡y+24三+2)QG 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日1176
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5.1节：矩阵序列与矩阵级数 现将m×n矩阵序列A),A②)，·，A,…简记为{A},其中 () (k) (k) 012 (k) A因= k=1,2,… ... : a 矩阵序列{A}中各矩阵对应位置上的元素构成m×n个数列. 4口+81三·1至卡2分Q0 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日2176
5.1!: › SÜ› ?Í yÚm × n› SA (1) , A (2) , · · · , A (k) , · · · {Pè A (k) ߟ• A (k) = a (k) 11 a (k) 12 · · · a (k) 1n a (k) 21 a (k) 22 · · · a (k) 2n . . . . . . . . . a (k) m1 a (k) m2 · · · a (k) mn , k = 1, 2, · · · › S A (k) •à› ÈA†ò˛É§m × n áÍ. ½¬5.1.1 m × n› S{A (k)},A (k) = a (k) ij , A = aij ße lim k→∞ a k ij = aij , i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , nß K°› S{A (k)}¬Òu› AßPè lim k→∞ A (k) = A.ƒK°› S {A (k)}u—. o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 2 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 现将m×n矩阵序列A),A②)，·，A,…简记为{A},其中 (k) (k) 012 01 (k) A因= k=1,2, : 矩阵序列{A}中各矩阵对应位置上的元素构成mn个数列. 定义5.1.1 设m×n矩阵序列A因}A因=()，A=(（0写)若 limd$=a,i=1,2,…,mj=1,2,…,n, 则称矩阵序列{A收敛于矩阵A,记为imA因=A.否则称矩阵序 列IA因发散. 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日2/76
5.1!: › SÜ› ?Í yÚm × n› SA (1) , A (2) , · · · , A (k) , · · · {Pè A (k) ߟ• A (k) = a (k) 11 a (k) 12 · · · a (k) 1n a (k) 21 a (k) 22 · · · a (k) 2n . . . . . . . . . a (k) m1 a (k) m2 · · · a (k) mn , k = 1, 2, · · · › S A (k) •à› ÈA†ò˛É§m × n áÍ. ½¬5.1.1 m × n› S{A (k)},A (k) = a (k) ij , A = aij ße lim k→∞ a k ij = aij, i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , nß K°› S{A (k)}¬Òu› AßPè lim k→∞ A (k) = A.ƒK°› S {A (k)}u—. o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 2 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 上述定义可称为矩阵序列{A依元素收敛或按坐标收敛.由定义可 见矩阵序列{A}收敛等价于m×n个数列收敛. 4口+81三·1至卡2分Q0 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日3/76
5.1!: › SÜ› ?Í ˛„½¬å°è› S{A (k)}ùɬҽUãI¬Ò.d½¬å Ñ› S{A (k)}¬Ò dum × náͬÒ. ½n5.1.1 || · ||¥C m×n˛?øò´› âÍßK› S A (k) ¬Òøá^ ᥠlim k→∞ ||A (k) − A|| = 0. ½n5.1.2 lim k→∞ A (k) = A, lim k→∞ B (k) = Bߟ•A (k) , B (k) , A, B¥· › ß a, b ∈ CßK 1 lim k→∞ (aA (k) + bB (k) ) = aA + bB; 2 lim k→∞ A (k)B (k) = AB; o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 3 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 上述定义可称为矩阵序列{A依元素收敛或按坐标收敛.由定义可 见矩阵序列{A}收敛等价于m×n个数列收敛. 定理5.1.1 设·‖|是Cmxm上的任意一种矩阵范数，则矩阵序列{A)收敛的充要条 件是1imA-Al=0. 4口卡y+24三+2)QG 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日3/76
5.1!: › SÜ› ?Í ˛„½¬å°è› S{A (k)}ùɬҽUãI¬Ò.d½¬å Ñ› S{A (k)}¬Ò dum × náͬÒ. ½n5.1.1 || · ||¥C m×n˛?øò´› âÍßK› S A (k) ¬Òøá^ ᥠlim k→∞ ||A (k) − A|| = 0. ½n5.1.2 lim k→∞ A (k) = A, lim k→∞ B (k) = Bߟ•A (k) , B (k) , A, B¥· › ß a, b ∈ CßK 1 lim k→∞ (aA (k) + bB (k) ) = aA + bB; 2 lim k→∞ A (k)B (k) = AB; o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 3 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 上述定义可称为矩阵序列{A依元素收敛或按坐标收敛.由定义可 见矩阵序列{A}收敛等价于m×n个数列收敛. 定理5.1.1 设·川是Cmxm上的任意一种矩阵范数，则矩阵序列{A}收敛的充要条 件是imA因-A|=0. 定理5.1.2 设limA因=A,limB)=B,其中A因，B因，A,B是适当阶的矩阵， →0 a,b∈C,则 Iim(aA因+bB)=aA+bB: lim A(k)B(k)=AB; 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日3/76
5.1!: › SÜ› ?Í ˛„½¬å°è› S{A (k)}ùɬҽUãI¬Ò.d½¬å Ñ› S{A (k)}¬Ò dum × náͬÒ. ½n5.1.1 || · ||¥C m×n˛?øò´› âÍßK› S A (k) ¬Òøá^ ᥠlim k→∞ ||A (k) − A|| = 0. ½n5.1.2 lim k→∞ A (k) = A, lim k→∞ B (k) = Bߟ•A (k) , B (k) , A, B¥· › ß a, b ∈ CßK 1 lim k→∞ (aA(k) + bB(k) ) = aA + bB; 2 lim k→∞ A (k)B (k) = AB; o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 3 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 0当A因，A都可逆时，1im(A因)-1=A-1. 4口+8，+三·4型+2分QC 李厚彪（数学料学学院） 矩阵分析 2020年9月15日4176
5.1!: › SÜ› ?Í 3 A (k) , A—å_ûß lim k→∞ (A (k) ) −1 = A −1 . ½¬5.1.2 A ∈ C n×n ,KAà ¶òå§ò› S E, A, A 2 , · · · , A k , · · · ß e› S A k ¬ÒßK°› Aò¬Ò½°A¥¬Ò› . ½n5.1.3 A ∈ C n×nßK› Aò¬Òøá^á¥AAäλ˜ v|λ| < 1½λ = 1ÈAJordan¨—¥ò . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 4 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 0 当A因，A都可逆时，im(A因)-1=A-1 k→00 定义5.1.2 设A∈Cm×n,则A的各阶乘幂可构成一矩阵序列 E,A,A2,.,Ak,, 若矩阵序列{Ak收敛，则称矩阵A幂收敛或称A是收敛矩阵 定理5.1.3 设A∈C"×n,则矩阵A幂收敛的充要条件是A的特征值入满 足<1或入=1对应的Jordan:块都是一阶 4口卡+8，+三·4至+2分QC 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日4176
5.1!: › SÜ› ?Í 3 A (k) , A—å_ûß lim k→∞ (A (k) ) −1 = A −1 . ½¬5.1.2 A ∈ C n×n ,KAà ¶òå§ò› S E, A, A 2 , · · · , A k , · · · ß e› S A k ¬ÒßK°› Aò¬Ò½°A¥¬Ò› . ½n5.1.3 A ∈ C n×nßK› Aò¬Òøá^á¥AAäλ˜ v|λ| < 1½λ = 1ÈAJordan¨—¥ò . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 4 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 证：设A的Jordan标准形为J,则存在可逆矩阵P,使得 J J P-IAP=J= Js 其中J;为特征值为入：的m阶Jordan:块.于是有（其中约定当s>k时， C=0) Ch,-1 C%-2 … C1+1 片 Ch-1 C-2m+2 玲= c 李厚彪数学科学学院) 矩阵分析 2020年9月15日5176
5.1!: › SÜ› ?Í y: AJordanIO/èJßK3å_› P߶ P −1AP = J = J1 J2 . . . Js Ÿ•JièAäèλimi Jordan¨. u¥k(Ÿ•½s > kûß C s k = 0) J k i = λ k i C 1 mi λ k−1 i C 2 mi λ k−2 i · · · C mi−1 mi λ k−mi+1 i λ k i C 1 mi λ k−1 i · · · C mi−2 mi λ k−mi+2 i . . . . . . . . . λ k i C 1 mi λ k−1 i λ k i o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 5 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 由定理5.1.2可知，矩阵A幂收敛的充要条件是A的Jordan标准形J幂收 敛.因此，J幂收敛的充要条件是<1或入=1且m:=1. 4口+日1三·1至卡2分Q0 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日6176
5.1!: › SÜ› ?Í d½n5.1.2åß› Aò¬Òøá^á¥AJordanIO/Jò¬ Ò.œdßJò¬Òøá^á¥|λi | 0ßK3~ÍM > 0߶|(A k ) ij | ≤ M[r(A) + ε] k . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 6 / 76