《矩阵理论》 第一章线性代数基础与核心思想 数学科学学院 2020年9月7日 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论禄程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日11177
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1.1节：线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，它是定义在某个数域上并 满足一定条件的一个集合 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论说程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日21177
1.1!: Ç5òm Ç5òm¥Ç5ìÍŃ VgÉò, ߥ½¬3,áÍç˛ø ˜vò½^áòá8‹. ½¬1.1.1 Íç F¥ù¹0⁄1òáÍ8, XJF •?ø¸áÍ⁄, , », ˚(ÿÍ ÿè0) E,3F •, K°FèòáÍç. ~ÑÍçk: knÍçQ, ¢ÍçR⁄EÍçC. ~µy²Q( √ 2) = n a + b √ 2 |a, b ∈ Q o ¥Íç. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 2 / 177
1.1节：线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，它是定义在某个数域上并 满足一定条件的一个集合 定义1.1.1数域 设F是包含0和1的一个数集，如果F中的任意两个数的和，差，积，商（除数 不为0)仍然在F中，则称F为一个数域 常见的数域有：有理数域Q,实数域R和复数域C 4口卡y+24三+2)QG 矩阵理论禄程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日21177
1.1!: Ç5òm Ç5òm¥Ç5ìÍŃ VgÉò, ߥ½¬3,áÍç˛ø ˜vò½^áòá8‹. ½¬1.1.1 Íç F¥ù¹0⁄1òáÍ8, XJF •?ø¸áÍ⁄, , », ˚(ÿÍ ÿè0) E,3F •, K°FèòáÍç. ~ÑÍçk: knÍçQ, ¢ÍçR⁄EÍçC. ~µy²Q( √ 2) = n a + b √ 2 |a, b ∈ Q o ¥Íç. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 2 / 177
1.1节：线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，它是定义在某个数域上并 满足一定条件的一个集合 定义1.1.1数域 设F是包含0和1的一个数集，如果F中的任意两个数的和，差，积，商（除数 不为0)仍然在F中，则称F为一个数域 常见的数域有：有理数域Q,实数域R和复数域C 例： 证明Q(v2)={a+bv2la,b∈Q 是数域. 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日21177
1.1!: Ç5òm Ç5òm¥Ç5ìÍŃ VgÉò, ߥ½¬3,áÍç˛ø ˜vò½^áòá8‹. ½¬1.1.1 Íç F¥ù¹0⁄1òáÍ8, XJF •?ø¸áÍ⁄, , », ˚(ÿÍ ÿè0) E,3F •, K°FèòáÍç. ~ÑÍçk: knÍçQ, ¢ÍçR⁄EÍçC. ~µy²Q( √ 2) = n a + b √ 2 |a, b ∈ Q o ¥Íç. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 2 / 177
1.1节：线性空间 定义1.1.2（线性空间） 设V是一个非空集合，F是一个数域 。在V上定义一种代数运算，称为加法，记为“+”，即对任意α，B∈V,都 存在唯一的y∈V,使得Ay=O.且该加法运算满足如下四条规则： 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日31177
1.1!: Ç5òm ½¬1.1.2 (Ç5òm) V¥òáöò8‹,F¥òáÍç. 1 3V˛½¬ò´ìÍ$é,°è\{,Pè/+0,=È?øα, β ∈ V,— 3çòγ ∈ V,¶A ∗ y = 0. ÖT\{$é˜vXeo^5Kµ (1)ÜÆ:α + β = β + α, ∀α, β ∈ V; (2)(‹Æµ(α + β) + γ = α + (β + γ), ∀α, β, γ ∈ V; (3)"É:3òáÉ0,¶ α + 0 = α, ∀α ∈ V; (4)_$é:È?ø α ∈ V,—3KÉ β ∈ V, ¶ α + β = 0,Pβ = −α; › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 3 / 177
1.1节：线性空间 定义1.1.2（线性空间） 设V是一个非空集合，F是一个数域 。在V上定义一种代数运算，称为加法，记为“+”，即对任意α，B∈V,都 存在唯一的Yy∈V,使得A*y=0.且该加法运算满足如下四条规则： (1)交换律：a+B=B+a,a,B∈V; 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩库理论说程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日31177
1.1!: Ç5òm ½¬1.1.2 (Ç5òm) V¥òáöò8‹,F¥òáÍç. 1 3V˛½¬ò´ìÍ$é,°è\{,Pè/+0,=È?øα, β ∈ V,— 3çòγ ∈ V,¶A ∗ y = 0. ÖT\{$é˜vXeo^5Kµ (1)ÜÆ:α + β = β + α, ∀α, β ∈ V; (2)(‹Æµ(α + β) + γ = α + (β + γ), ∀α, β, γ ∈ V; (3)"É:3òáÉ0,¶ α + 0 = α, ∀α ∈ V; (4)_$é:È?ø α ∈ V,—3KÉ β ∈ V, ¶ α + β = 0,Pβ = −α; › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 3 / 177
1.1节：线性空间 定义1.1.2（线性空间） 设V是一个非空集合，F是一个数域 。在V上定义一种代数运算，称为加法，记为“+”，即对任意α，B∈V,都 存在唯一的Yy∈V,使得A*y=0.且该加法运算满足如下四条规则： (1)交换律：a+B=B+a,a,B∈V; (2)结合律：(a+)+Y=a+(B+Y),a,B,Y∈V: 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日31177
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1.1节：线性空间 定义1.1.2（线性空间） 设V是一个非空集合，F是一个数域 。在V上定义一种代数运算，称为加法，记为“+”，即对任意α，B∈V,都 存在唯一的y∈V,使得A*y=0.且该加法运算满足如下四条规则： (1)交换律：a+3=B+a,a,B∈V: (2)结合律：(a+)+Y=a+(B+),a,B,Y∈V; (3)零元素：存在一个元素0，使得a+0=a,a∈： 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日31177
1.1!: Ç5òm ½¬1.1.2 (Ç5òm) V¥òáöò8‹,F¥òáÍç. 1 3V˛½¬ò´ìÍ$é,°è\{,Pè/+0,=È?øα, β ∈ V,— 3çòγ ∈ V,¶A ∗ y = 0. ÖT\{$é˜vXeo^5Kµ (1)ÜÆ:α + β = β + α, ∀α, β ∈ V; (2)(‹Æµ(α + β) + γ = α + (β + γ), ∀α, β, γ ∈ V; (3)"É:3òáÉ0,¶ α + 0 = α, ∀α ∈ V; (4)_$é:È?ø α ∈ V,—3KÉ β ∈ V, ¶ α + β = 0,Pβ = −α; › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 3 / 177
1.1节：线性空间 定义1.1.2（线性空间） 设V是一个非空集合，F是一个数域. 。在V上定义一种代数运算，称为加法，记为“+”，即对任意α，B∈V,都 存在唯一的y∈V,使得Ay=0.且该加法运算满足如下四条规则： (1)交换律：a+B=B+a,a,B∈V; (2)结合律：(a+)+Y=a+(B+),a,B,Y∈V; (3)零元素：存在一个元素0，使得a+0=a,a∈： (4)逆运算：对任意a∈V,都存在负元素B∈V,使 得a+6=0,记3=-a: 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日31177
1.1!: Ç5òm ½¬1.1.2 (Ç5òm) V¥òáöò8‹,F¥òáÍç. 1 3V˛½¬ò´ìÍ$é,°è\{,Pè/+0,=È?øα, β ∈ V,— 3çòγ ∈ V,¶A ∗ y = 0. ÖT\{$é˜vXeo^5Kµ (1)ÜÆ:α + β = β + α, ∀α, β ∈ V; (2)(‹Æµ(α + β) + γ = α + (β + γ), ∀α, β, γ ∈ V; (3)"É:3òáÉ0,¶ α + 0 = α, ∀α ∈ V; (4)_$é:È?ø α ∈ V,—3KÉ β ∈ V, ¶ α + β = 0,Pβ = −α; › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 3 / 177
1.1节：线性空间 。定义一个从F×V到Ran(A)CKer(A*)的代数运算，称为数乘，记为 “+”,即对任意k∈F和任意a∈V,都存在唯一的B∈V,使 得B=k,a(为了表示方便，通常省略数乘符号，即将k·α写成ka).且 该“数乘”运算满足如下四条规则： 4口卡+8+三·4至+2分QC 矩阵理论课程组（数学科学学院） 矩阵理论 2020年9月7日41177
1.1!: Ç5òm 2 ½¬òálF × VRan(A) ⊥ ⊆ Ker(A ∗ )ìÍ$é,°èͶ, Pè /+0, =È?ø k ∈ F ⁄?ø α ∈ V,—3çò β ∈ V, ¶ β = k · α(è L´êB,œ~é—ͶŒ“,=Ú k · α§ kα).Ö T/Ͷ0$é˜vXeo^5Kµ (1)¸†:1 · α = α, 1 ∈ F, ∀α ∈ V; (2)(‹Æ:k · (l · α) = (kl) · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (3)©Æ: (k + l) · α = k · α + l · α, ∀k, l ∈ F, α ∈ V; (4)©Æ: k · (α + β) = k · α + k · β, ∀k ∈ F, α, β ∈ V. K°(V, +, ·)¥ÍçF˛òáÇ5òm. œ~·ÇrV•˜v±˛8^5üÖµ4\{9Ͷ¸´$éß⁄ °èÇ5$é. Ç5$é¥Ç5òm üßßáN 8‹•ÉÉm ,´ìÍ(. › nÿëß| (ÍÆâÆÆ) › nÿ 2020c97F 4 / 177