§6.1 Green公式 一、调和函数定义 在区域2内，=()有二阶连续偏导，并且满足 △u=0,I∈ u= w= 41n 1 4元ErMM。 2EN IMMo ↓ spherical harmonics of 出 Graduate Texts ↓ degree and order m in Mathematics Sheldon Axler Paul Bourdon Wade Ramey 以= w=In Harmonic Functionh 调和话数建论氧 EEAVENUA e=10.m=5
§6.1 Green公式 2 一、调和函数定义 u M0, 在区域 Ω内，u=u(M)有二阶连续偏导，并且满足 0 1 ln 2 MM q u r 0 4 MM q u r 0 1 MM u r 0 1 ln MM u r
二、调和函数性质 性质1设ucy,z)是区域2上的调和函数，则有 ∯ 0do=01 为区域2边界面T外法线方向 证明：第二Green公式 ∯(v-W0-dG=J∬(uAv-aw）aW 取v三1 Ou △u=0,△(1)=0，Vu…n= an 推论 △u=ue+uw+4za=0 有解的必要条件为 ∯pM)da=0 3
3 u u u u xx yy zz 0 u n 推论 有解的必要条件为 ( ) 0 M d 性质1 设u(x,y,z)是区域 Ω上的调和函数，则有 0 u d n n 为区域 Ω边界面Г外法线方向 取 v 1 0, (1) 0, u u u n n 证明：第二Green公式 u v v u d u v v u dV 二、调和函数性质
性质2设c,y,z)是区域2上的调和函数，则有 NOTE:第三Green公式+△u=0 (M)-∯品aog如r-ra
4 性质2 设u(x,y,z)是区域Ω上的调和函数，则有 0 0 1 1 1 ( ) , 4 MM u u M u d r r r n n r NOTE: 第三Green公式+ u 0 0 0 1 1 1 1 1 ( ) , 4 4 MM u u M u d u dV r r r n n r r
性质3设x,,z)是区域2上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的 算术平均值，即 uM,)=R∯auna TR以M为球心，R为半径的球面 TR 证明 a-女Lo-ra GEOMETRIC APPLICATIONS OF FOURIER SERIES 4元 AND SPHERICAL HARMONICS H.GROEME合 1 铺立时级蜚和球面调和函验的几何位用 4πR 达准婴
5 性质3 设u(x,y,z)是区域Ω上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的 算术平均值，即 0 2 1 ( ) ( ) 4 R u M u M d R ΓR以M0为球心 , R为半径的球面 0 0 1 1 1 ( ) , 4 R MM u u M u d r r r n n r 证明: 2 2 1 4 1 1 4 4 R R R u d ud n ud R R R 1 1 1 1 4 4 R R u d u d r n n r
三、最值原理 性质4设ux,z)是区域2上的调和函数，「+2上连续，则uk,,z)的最 大值和最小值都可以在边界面上达到. 证明：设(x,yz)在T上的最大值为C*,在2内部 点M(xo20)取得最大值C=(x20) R 反证法：设C*<Co 构造函数v(x,yz): Co-C v(x,y,z)=u(x,y,z)+ 8R2 MMo rMM,=V(x-x)2+(y-)2+(3-z)2,M,M∈2 6
6 性质4 设u(x,y,z)是区域Ω上的调和函数，Г+Ω上连续, 则 u(x,y,z)的最 大值和最小值都可以在边界面上达到. 0 0 * 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) 8 ( ) ( ) ( ) , , MM MM C C v x y z u x y z r R r x x y y z z M M 证明: 设u(x,y,z)在Г上的最大值为C*，在Ω内部 点M0 (x0 ,y0 ,z 0 )取得最大值 C0 =u(x0 ,y0 ,z 0 ) 反证法：设 C* < C0 三、最值原理 构造函数v(x,y,z) ： Г Ω R
(X,y,)=(,y,z)+ -c 8R2 MMo 1.v的内部取值情况v(x,yo,z)=(o,y0,o)=C0 a(化2)≥ax4(化，2) M∈- 2.v的边界取值情况 (比，z)≤max4ex,,)+C。-C max IMMo 2 Mer 8R2 Mer ≤C+C-C 8R2(2R)2 C-C_C+C<c。 =C*+ 2 2 7
7 0 * 0 2 2 ( , , ) ( , , ) 8 MM C C v x y z u x y z r R 0 0 0 0 0 0 0 v x y z u x y z C ( , , ) ( , , ) 0 * 0 2 max ( , , ) max ( , , ) max 2 8 MM M M M C C v x y z u x y z r R 1. v的内部取值情况 2. v的边界取值情况 max ( , , ) max ( , , ) M M v x y z u x y z * * 0 2 2 8 (2 ) C R R C C * * * 0 0 0 2 2 C C C C C C
(c,)=u(心，，)+C-C 8R2 MMo ,=(x-x'+(0y-尸+(2-z月 3. (am）=(a）n=(m）=2 +y,+va=4+,++3CC)_ 3(C。-C)>0 4R2 4R2 cy,)达到最大值时有V≤0，yw≤0，vz≤0 即 Vx+Vyw+Vz≤0 矛盾 同理，最小值的可达性证明 8
8 * * 0 0 2 2 3( ) 3( ) 0 4 4 xx yy zz xx yy zz C C C C v v v u u u R R v(x,y,z)达到最大值时有 v v v xx yy zz 0, 0, 0 v v v xx yy zz 0 矛盾 3. 同理，最小值的可达性证明 0 2 2 0 2 2 0 0 r MM ( ) ( ) ( ) x x y y z z 0 0 0 2 2 2 2 xx yy MM MM M zz r r r M 0 * 0 2 2 ( , , ) ( , , ) 8 MM C C v x y z u x y z r R 即
推论1设在有界区域2内的调和函数，在闭区域「+2上为连续，如果还在的边界面 「上为常数K,则它在内各点的值也等于常数K。 推论2设在有界区域Q内的调和函数，在闭区域T+2上为连续，如果还在的边界 面「上恒为零，则它在内各点处的值都等于零。 推论3设在有界区域2内的两个调和函数，在闭区域上「+2为连续，如果它们还 在区域的边界面厂上取相等的值，则它们在内所取的值也彼此相等。 9
9 推论1 设在有界区域Ω内的调和函数，在闭区域 Г+Ω上为连续，如果还在的边界面 Г上为常数K，则它在内各点的值也等于常数K。 推论2 设在有界区域 Ω 内的调和函数，在闭区域Г+Ω上为连续，如果还在的边界 面 Г上恒为零，则它在内各点处的值都等于零。 推论3 设在有界区域 Ω内的两个调和函数，在闭区域上Г+Ω 为连续，如果它们还 在区域的边界面 Г 上取相等的值，则它们在内所取的值也彼此相等
