电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第二章 定解问题与偏微分方程理论（2/4）

敫理方程与特殊函致 第二章定解问题与偏微分方程理论（二） 主讲：杨春

第二章 定解问题与偏微分方程理论(二) 主讲：杨春

主要内容 一、热传导与扩散方程定解问题 二、稳态方程的定解问题 三、物理系统可能涉及的其它几类条件

主要内容 一、热传导与扩散方程定解问题 二、稳态方程的定解问题 三、物理系统可能涉及的其它几类条件

今天学习热传导与稳态场方程定解问题 一、热传导与扩散方程定解问题 (一)细杆的热传导 1、物理背景 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。 n 2、推导：设温度函数u化，) X x+dx X Adt 间内流入微元的热量为：d0=-kA ax 在at时间内流出徽元的热量为：dg,=-kAdh=-ku,(+k,04d

今天学习热传导与稳态场方程定解问题 (一) 细杆的热传导 1、物理背景 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。 一、热传导与扩散方程定解问题 u(x,t) x x+dx o x n 2、推导：设温度函数 在dt时间内流入微元的热量为： 1 u u dQ k Adt k Adt n x         在dt时间内流出微元的热量为： 2 ( , ) x u dQ k Adt ku x dx t Adt n       

在dt时间内微元吸收的净热量为： do=de-de =kAdilu,(x+dx,t)-u,(x,t)] x+dx 由比热公式： do=cmAT=cpAdxlu(x,t+di)-u(x,t)]=cpAu,dxdt 由热量守恒定律得：kAu,dxdt=cpAu,dkdt k u,a'us a2 cp 一维齐次热传导方程

在dt时间内微元吸收的净热量为： x x+dx o x n 1 2 [ ( , ) ( , )] dQ dQ dQ kAdt u x dx t u x t      x x 由比热公式： dQ cm T c Adx u x t dt u x t       [ ( , ) ( , )] t  c Au dxdt  由热量守恒定律得： xx t kAu dxdt c Au dxdt   2 u a u t xx  一维齐次热传导方程。 2 k a c 

n 注：如果杆的内部有热源，例如：假设热源的密度 为F(x,t),即单位时间里，单位长度放出的热量。 那么微元自身产生的热量为：F(x,t)Adxdt.。 X x+dx do=cmAT=cpAdxu(x,t+dt)-u(x,t)] cpAu,dxdt=kAu,dxdt+F(x,1)Adxdt 于是得到：cpAu,dxdt=kAu,dxdt+F(x,t)Adxdt ↓ cpu,=kux+F(x,t)〉 F(x,t) u = cp 4，=au.+f(x,t) 一维非齐次热传导方程

注：如果杆的内部有热源，例如：假设热源的密度 为F(x,t)，即单位时间里，单位长度放出的热量。 那么微元自身产生的热量为：F(x,t)Adxdt。 x x+dx o x n dQ cm T c Adx u x t dt u x t       [ ( , ) ( , )] ( , ) t xx    c Au dxdt kAu dxdt F x t Adxdt  于是得到： ( , ) t xx c Au dxdt kAu dxdt F x t Adxdt    ( , ) t xx c u ku F x t    ( , ) t xx k F x t u u c c     2 ( , ) u a u f x t t xx   一维非齐次热传导方程

(二)三维空间中的热传导问题 1、物理背景 设均匀且各向同性的导热体，置于温度比它高的热场中，求物体中温度(x,y,z,)的分布 规律。 2、推导过程 先要给出在t,时间里流入导热体的 热量，然后再给出在该时间中导热体 温度升高所需要的热量。 ()[上，时间里流入导热体的热量Q1 计算： 导热体 热场 dS d2=-k O u dsdt an

设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中,求物体中温度u(x，y，z, t)的分布 规律。 (二) 三维空间中的热传导问题 1、物理背景 导热体 热场 2、推导过程 先要给出在[t1 ,t2 ]时间里流入导热体的 热量，然后再给出在该时间中导热体 温度升高所需要的热量。 (1) [t1 ,t2 ]时间里流入导热体的热量Q1 计算： dS n 1 u dQ k dSdt n    

n 在北，时间里流入S的热量为： dS =尝比+ O u dzdx a (2)[t,里导热体升温需要的热量Q2计算：

在[t1 ,t2 ]时间里流入S的热量为： dS n 2 1 1 t t S u Q k dS dt n             2 1 ( t t S u u u k dydz dzdx dxdy dt x y z                  2 1 222 2 2 2 ( ) t t V uuu k dV dt x y z                (2) [t1 ,t2 ] 里导热体升温需要的热量Q2计算:

导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为： dS de =cpdv [u(x,y,z,t+dt)-u(x,y,z,t)] cpdvu,dt G,里导热体升温需要的热量Q,计算 g-iawarh 由热量守恒定律：Q1=Q2 装+祭+老ara-coou k△u=Cp4,→4，=a2△u

导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为： dS n [t1 ,t2 ] 里导热体升温需要的热量Q2计算: dQ c dV u x y z t dt u x y z t 2      ( , , , ) ( , , , ) t  c dVu dt  2 1 2 t t t V Q c u dV dt           由热量守恒定律：Q1 = Q2 2 1 222 2 2 2 ( ) t t V uuu k dV dt x y z               2 1 t t t V c u dV dt           t k u c u    2 u a u t  

例 注：1、如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程形式为： 4,=a△u+f(M,t) 其中，f（M,t)被称为自由项。 2、物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方程也称为扩散方程。 3、根据不同背景，热传导方程涉及的边界条件可能不同。初始条件只需要一个。 4、绝热边界满足第二类齐次边界条件

注：1、如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程形式为： 2 ( , ) u a u f M t t    其中，f ( M, t) 被称为自由项。 2、物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方程也称为扩散方程。 3、根据不同背景，热传导方程涉及的边界条件可能不同。初始条件只需要一个。 4、绝热边界满足第二类齐次边界条件

二、稳态方程定解问题 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是所研究的物理量不随时间而 变化。 (一）稳定温度分布 物体温度分布达到稳定时，温度对于时间的变化率为零，温度函数不随时间而变 化，因此，温度函数满足的方程为： △M=0....(1) 或者 △1=f(x,y,z)…(2) (1)和(2)分别称为拉普拉斯方程与泊松方程

稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是所研究的物理量不随时间而 变化。 二、稳态方程定解问题 (一) 稳定温度分布 物体温度分布达到稳定时，温度对于时间的变化率为零，温度函数不随时间而变 化，因此，温度函数满足的方程为：   u 0 1 （） 或者   u f x y z ( , , ) 2 （ ） (1)和(2)分别称为拉普拉斯方程与泊松方程