电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第二章 定解问题与偏微分方程理论（3/4）

敫理方程与特殊函致 第二章定解问题与偏微分方程理论（三） 主讲：杨春

第二章 定解问题与偏微分方程理论(三) 主讲：杨春

主要内容 一、方程化简 二、化简方法总结

主要内容 一、方程化简 二、化简方法总结

今天学习带有两个变量的二阶线性偏微分方程化简与通解问题。 一、方程化简 对象：含两个变元的二阶线性偏微分方程。 一般形式：a14x+2a12y+a224y+b,4x+b2,+cu=f a1,a12,22,b1,b2,C,f是关于x,y的函数： =0时，称方程为齐次方程，否则，方程为非齐次方程。 引入二阶线性偏微分算子： o2 o2 L=d ax? 2av2Ox -+ 0+b 则上面一般形式方程可简记为：L=f

今天学习带有两个变量的二阶线性偏微分方程化简与通解问题。 对象 ：含两个变元的二阶线性偏微分方程。 一般形式： a11, a12, a22, b1 , b2 , c, f是关于x, y的函数； f=0时，称方程为齐次方程，否则，方程为非齐次方程。 一、方程化简 a u a u a u b u b u cu f 1 1 xx  2 1 2 xy  2 2 yy  1 x  2 y   引入 二阶线性偏微分算子： 则上面一般形式方程可简记为： 。 c y b x b y a x y a x L a                  2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 Lu  f

化简方法讨论 总的思路是：通过恰当实可逆变换： J5=0(x,y) 7=p2(x,y) 将方程化为如下形式： a,4s+2a,4n+a,4n+b4,+6,,+cu=f 保证变换后的二阶偏导数项系数至少一项为零。 具体分析过程 引入实可逆变换： 5=p(x,y) 7=(x,y) →a4s+2a,4n+a,4,+64+4，+u=f

化简方法讨论 总的思路是：通过恰当实可逆变换： 将方程化为如下形式： 保证变换后的二阶偏导数项系数至少一项为零。 具体分析过程     1 2 , , x y x y           11 12 22 1 2 1 a u a u a u bu b u c u f 2            引入实可逆变换：     1 2 , , x y x y           11 12 22 1 2 1 a u a u a u bu b u c u f 2           

那么可以得到： a-eaele 其中： Q- b=Lg-c,b =Ln-cn.c=c,J=f 注：推导过程简单，但繁琐，在此略去。 a1=a15x2+2a255,+a25, 注意到等式： a2=a1x2+2a21,,+a2, a2=a5n.+a2(5,+5,n.）+a225,1

那么可以得到： 其中： 注：推导过程简单，但繁琐，在此略去。 注意到等式： 11 12 11 12 12 22 12 22 T a a a a Q Q a a a a              x y x y Q            1 2 b L c b L c c c f f           , , ,   2 2 11 11 12 22 2 2 22 11 12 22 12 11 12 22 2 2 x x y y x x y y x x x y y x y y a a a a a a a a a a a a                                 

相应地，考虑方程：ap,2+2a2p,0,+a20,2=0 a1=a5+2a25.5,+a25, a2=a4lx+2a21,+a2z7, a2=a51.+a2(51,+5,八.)+a25,n, 如果5=4()，刀=，（化，y正好为所设方程的解，那么：a1=0,a22=0。 所以，变换就转化为如下方程求解问题： 4192+2a22,0,+a20,2=0…(1) 如何求解()？ 考虑相应的一个常微分方程 :a y -2n y +a22=0…(2) 定理：px,y)是方程(1)的解的充分必要条件是φ(X,y)=C确定的隐函数 y=y()是方程(2)的解

相应地，考虑方程： 如果 正好为所设方程的解，那么： 。 所以，变换就转化为如下方程求解问题： 如何求解(1)？   2 2 11 11 12 22 2 2 22 11 12 22 12 11 12 22 2 2 x x y y x x y y x x x y y x y y a a a a a a a a a a a a                                  2 2 11 12 22 2 0 x x y y a a a              1 2  x y x y , , ,    a a 11 22   0, 0 2 2 11 12 22 2 0 (1) a a a     x x y y    考虑相应的一个常微分方程： 。 2 11 12 22 2 0 (2) dy dy a a a dx dx                定理：φ(x, y)是方程(1)的解的充分必要条件是φ(x, y) = C 确定的隐函数 y = y(x )是方程(2)的解

a192+2a292,+a2g,2=0.(0 证明：必要性：设φx,y)是方程(1)的解。 a(-2a(） +a=0…(2) 设y=y(x)是p(K,y)=C所确定的隐函数，那么： o(x,y)=c →atak)盘0→ 少=-0(x 0(x,y ,(0,(x,)≠0) 将其代入方程(2)： -gjn小-alao+2aea+aoj=0 所以，必要性得到证明。 充分性：若p(x,y)=C确定的隐函数y=y(x)是方程(2)的解。我们证明p(x,y)是(1)的解. 因p(x,y)=C确定的隐函数y=y(x)是方程(2)的解。那么可以推出： ag+24ge+u,)=0→4+2a,2%+ag=0

证明：必要性：设φ(x, y)是方程(1)的解。 设y = y(x )是 φ(x, y) = C 所确定的隐函数，那么： 2 2 11 12 22 2 0 (1) a a a     x x y y    2 11 12 22 2 0 (2) dy dy a a a dx dx                充分性：若φ(x, y) = C 确定的隐函数y = y(x )是方程(2)的解。我们证明φ(x, y) 是(1)的解. ( , ) x y c  ( , ) ( , ) 0 x y dy x y x y dx     ( , ) ,( ( , ) 0) ( , ) x y y dy x y x y dx x y       将其代入方程(2)： 2 2 11 12 22 11 12 22 2 2 x x y y dy dy a a a a a a dx dx                                          2 2 2 11 12 22 1 2 0 x x y y y a a a          所以，必要性得到证明。 因φ(x, y) = C 确定的隐函数y = y(x )是方程(2)的解。那么可以推出：   2 2 2 11 12 22 1 x x y y 2 0 y a a a         2 2 a a a 11 12 22     x x y y    2 0

称方程2)为方程：414+2a,+a2,y+bu+b,4,+cl=∫的特征方程。 对于特征方程2：a-2.=0- 少=-2a±2a22-a1a2 2a41 令：A=a2-a4z 情形1：4>0,2)的两个线性无关通解为：(x,y)=C1,P2(x,y)=C2 变换设定为： 5=p(x,y) 7=p2(x,y)》 →2ā245，+瓦4+b,4,+cu=f

称方程(2)为方程： 的特征方程。 对于特征方程(2): 情形1：Δ > 0 , (2)的两个线性无关通解为： 令： 变换设定为： 11 12 22 1 2 2 xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f       2 11 12 22 2 0 (2) dy dy a a a dx dx                2 12 12 11 22 11 2 2 2 dy a a a a dx a     2 12 11 22    a a a 1 1 2 2   ( , ) , ( , ) x y c x y c   1 2 ( , ) ( , ) x y x y          2a u bu b u c u f 12 1 2 1       

情形2：△<0，(2)的两个通解为：( ,(x,y)±p2(x,y)i=C 变换设定为： 有 }→a,4g+a4,+64:+6,+u=了 情形3：△=0，(2)的通解为： p(x,y)=c 5=p(x,y) 变换设定为： 7=x(或y) → a,n+64:+6,4,+Gu=f 到此，我们可以总结出化筒方法！

情形2：Δ < 0 , (2)的两个通解为： 变换设定为： 1 2 ( , ) ( , ) x y x y          1 2   ( , ) ( , ) x y x y i c   11 22 1 2 1 a u a u bu b u c u f          情形3：Δ = 0 , (2)的通解为： ( , ) x y c  变换设定为： ( , ) ( ) x y x y         或 a u bu b u c u f 22 1 2 1        到此，我们可以总结出化简方法！

二、化简方法总结 1、写出特征方程：a1 242 y 4 dx +a22=0; 2、计算：△=a22-an42 (1)、△>0 →0(x,y)=G,%(x,y)=G→ 5=p(x,y) 7=p2(x,y) (2)、△<0 →g(x,y)±，(xy)i=c→ =(x,y) In=p2(x,y) 3)、4=0 ( (x,)=c→{=成

1、写出特征方程： ； 二、化简方法总结 2 11 12 22 2 0 dy dy a a a dx dx                2、计算： ； 2 12 11 22    a a a (1)、 Δ > 0 1 2 ( , ) ( , ) x y x y          (2)、 Δ < 0 1 2 ( , ) ( , ) x y x y          (3)、 Δ = 0 ( , ) ( ) x y x y         或 1 2   ( , ) ( , ) x y x y i c   ( , ) x y c  1 1 2 2   ( , ) , ( , ) x y c x y c  