激理方程与特殊函致 第四章行波法（一） 主讲：杨春
第四章 行波法(一) 主讲：杨春
行波法是求解无界域、半无界域波动方程定解问题的一种方法。 本章主要介绍一维波动方程柯西问题的达朗贝尔公式和高维波动方程柯西问题的泊松公式。 主要内容 一、一维无界、半无界域上波动方程求解 二、高维波动方程柯西问题求解 学时：6学时
行波法是求解无界域、半无界域波动方程定解问题的一种方法。 本章主要介绍一维波动方程柯西问题的达朗贝尔公式和高维波动方程柯西问题的泊松公式。 主要内容 一、一维无界、半无界域上波动方程求解 二、高维波动方程柯西问题求解 学时：6学时
本次课主要内容 一、无界域上波动方程定解问题求解 二、半无界域上波动方程定解问题求解
本次课主要内容 一、无界域上波动方程定解问题求解 二、半无界域上波动方程定解问题求解
一、无界域上波动方程定解问题求解 (一)、达朗贝尔公式 无限长细弦的自由横振动解问题为： 4n=adu(x∈R,t>0).(I) u0=p(x)b4,-o=w(x)(2) 1、由第2章第4节的方法，求出泛定方程1)通解为： u(x,t)=f(x+at)+f(x-at)..(3) 注：(3)的右边第一项称为左行波，第二项称为右行波。 2、把通解(3)代入初始条件得： f(x)+5(x)=p(x)(4) af(x)-af5(x)=w(x)(5)
2 0 0 ( , 0) 1 ( ) ( ) 2 tt xx t t t u a u x R t u x u x （ ） ， （ ） 1、 由第2章第4节的方法，求出泛定方程(1)通解为： 一、无界域上波动方程定解问题求解 (一) 、达朗贝尔公式 无限长细弦的自由横振动解问题为： 1 2 u x t f x at f x at ( , ) ( ) ( ) (3) 注: (3)的右边第一项称为左行波，第二项称为右行波。 2、 把通解(3)代入初始条件得： 1 2 1 2 4 (5) f x f x x af x af x x （ ）
i(x)+(x)=p(x).(4) af'(x)-af(x)=w(x)…(⑤) af(x)-af5(x)=w(x)…(⑤) ↓ 「(a()-a()=∫(x ↓ f(x)-()=∫（传）d5+f)-fx) f(x)+f(x)=p(x)(4) )-e+2a()d+)广i月 )p2(目s-)-6c】
1 2 1 2 4 (5) f x f x x af x af x x （ ） af x af x x 1 2 (5) 0 0 1 2 x x x x af x af x dx x dx 0 1 2 1 0 2 0 1 ( ) ( ) x x f x f x d f x f x a f x f x x 1 2 （ ）4 0 0 1 1 0 2 0 2 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x x x f x x d f x f x a f x x d f x f x a
f)-a+云ek+)-) o=*云a国+)6】 56)=)-2a()k-L)6cl (x+a)v(+ u(x,t)=f(x+at)+2(x-at…(3) (e-)2a(-L)-f】 ↓ f(-a叫-x-am02av()-x月 根据(3)得到定解问题的解为： x0-o+a）+o(-am]+2(o
0 0 1 1 0 2 0 2 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x x x f x x x dx f x f x a f x x x dx f x f x a 0 1 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x f x x x dx f x f x a 0 1 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x at x f x at x at x dx f x f x a 0 2 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x f x x x dx f x f x a 0 2 1 0 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x at x f x at x at x dx f x f x a 1 2 u x t f x at f x at ( , ) ( ) ( ) (3) 根据 (3)得到定解问题的解为： . . 1 1 ( , ) (6) 2 2 x at x at u x t x at x at x dx a
x0=[(x+a)+ox-an]+』y(6)k6 公式(6)称为达朗贝尔公式。 注：上面方法称为行波法。 u=au.(x∈Rt>0).(ID 例1、无限长静止弦在点xX受到冲击，冲量 4=o=p(x),4,-0=w(x)(2) 为〡，弦的密度为P。试求解弦的振动。 解：定解问题为： 可直接代 入达朗贝 4-aum=0,(-o00) 尔公式求 4-o=0,(-0<x<+∞) 解 ls(e-)(<<四)
公式(6)称为达朗贝尔公式。 . . 1 1 ( , ) (6) 2 2 x at x at u x t x at x at x dx a 注：上面方法称为行波法。 2 0 0 ( , 0) 1 ( ) ( ) 2 tt xx t t t u a u x R t u x u x （ ） 例1、无限长静止弦在点x=x0 受到冲击，冲量 ， （ ） 为 I ，弦的密度为 ρ。试求解弦的振动。 解：定解问题为： 2 0 0 0 0, , 0 0, , tt xx t t t u a u x t u x I u x x x 可直接代 入达朗贝 尔公式求 解 0 0 0 1 ( , ) ( ) 2 2 x at x x at x at x x at I I u x t x x d x dx a a
(二)、无限长弦的纯强迫振动定解问题 W(M,t,r) &0=Lo.(MeR.1>T) 无限长弦在纯强迫力f(x,t)引起的振动定解问题为： un =a'uss +f(x,t)(x E R,t>0) u-o=0,4,l-o=0 u=r(M,)dz→ g=u+f(M,40.(M∈R',>0) 4=00l=0 分析：可以用齐次化原理1求解！ 解：对应的齐次化问题为： Wn=aW(x∈R,t>t) t'=t-T Wm=aW.(x∈R,t'>0) W==0,W==f(x,t) Wlr=o=0,W lr=o=f(x,t)(xE R) 达朗贝尔 公式 r(x)=2aJfxnd
分析：可以用齐次化原理1求解！ 2 0 0 ( , )( , 0) 0, 0 tt xx t t t u a u f x t x R t u u (二) 、无限长弦的纯强迫振动定解问题 无限长弦在纯强迫力f(x,t)引起的振动定解问题为： 2 3 2 ,( , ) 0, , t t L M R t t f M t 2 3 2 0 0 , ,( , 0) t t 0, 0 u Lu f M t M R t t u u t . .0 , ; t u W M t d W M t , ; 解：对应的齐次化问题为： 2 ( , ) 0, ( , ) tt xx t t t W a W x R t W W f x t t 2 0 0 ( , 0) 0, ( , )( ) t t xx t t t W a W x R t W W f x x R 达朗贝尔 公式 1 ( , , ) ( , ) 2 x at x at W x t f x dx a
W((ds x+a(1-t) x)=2a[xrr…( 注：()可以作为无限长弦纯强迫振动位移函数计算公式。 例2、求定解问题： un-a'ues =x+at(x E R,t >0) lulr-o=0,u,l-o=0 解：这是无限长弦纯强迫振动定解问题，因此由(7)得到：
( ) ( ) 1 ( , , ) ( , ) 2 x a t x a t W x t f x dx a ( ) 0 ( ) 1 ( , ) ( , ) (7) 2 t x a t x a t u x t f x dx d a 注: (7)可以作为无限长弦纯强迫振动位移函数计算公式。 例2、求定解问题： 2 0 0 ( , 0) 0, 0 tt xx t t t u a u x at x R t u u 解：这是无限长弦纯强迫振动定解问题，因此由(7)得到：
xt2 x)=2a[c+ar4: 2 6 例3、求定解问题： uxx-uw=8(x∈R,y>0) 4,0=0,4,0=0 解：相当于无限长弦纯强迫定解问题。 ux-uw=8(x∈R,y>0) 4,-o=0,4,-0=0 → uy-uxx=-8(x∈R,y>0) 1u4=0,4,l=0 → c.0=2a心[6(-8H红=4y
( ) 0 ( ) 1 ( , ) ( ) 2 t x a t x a t u x t x a dx d a 例3、求定解问题： 2 3 2 6 xt at 解：相当于无限长弦纯强迫定解问题。 0 0 8( , 0) 0, 0 xx yy y y y u u x R y u u 0 0 8( , 0) 0, 0 xx yy y y y u u x R y u u 0 0 8( , 0) 0, 0 yy xx y y y u u x R y u u ( ) 0 ( ) 1 ( , ) ( 8) 2 y x a y x a y u x y dx d a 2 4y
