电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第三章 分离变量法（1/4）

数理方程与特殊函激 第三章分离变量法（一） 主讲：杨春

第三章 分离变量法(一) 主讲：杨春

分离变量法是求解各种类型偏微分方程定解问题的典型方法之一。主要包括各类 典型方程的边值与混合问题。要求熟练掌握。 定解问题的类型： 1、初值问题（柯西问题）：无边界条件的定解问题。 2、边值问题：无初值条件的定解问题。 3、混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。 本章围绕定解问题分离变量求解方法，介绍如下内容： 1、一维波动与热传导定解问题分离变量求解 2、高维定解问题分离变量求解 3、非齐次（方程与边界条件非齐次）定解问题求解， 学时：8学时

本章围绕定解问题分离变量求解方法，介绍如下内容： 分离变量法是求解各种类型偏微分方程定解问题的典型方法之一。主要包括各类 典型方程的边值与混合问题。要求熟练掌握。 定解问题的类型： 1、初值问题 (柯西问题)：无边界条件的定解问题。 2、边值问题：无初值条件的定解问题。 3、混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。 1、一维波动与热传导定解问题分离变量求解 2、高维定解问题分离变量求解 3、非齐次(方程与边界条件非齐次)定解问题求解. 学时：8学时

主要内容 一、波动方程定解问题的分离变量求解 二、级数解的物理意义 三、热传导方程定解问题的分离变量求解

主要内容 一、波动方程定解问题的分离变量求解 三、热传导方程定解问题的分离变量求解 二、级数解的物理意义

一、波动方程定解问题的分离变量求解 大量的偏微分方程定解问题可以通过所谓的“分离变量”方法求解。 “分离变量”方法是数理方程求解的典型方法之一。也是人们发现的第一个数理方 程的求解方法。 “分离变量”方法的发现是众多数学家集体努力的结果：参与其中的主要人物有： 伯努力，达朗贝尔，欧拉，拉格朗日，傅里叶。其中，伯努利所起作用最大！是他 敏锐发现了弦振动解的可能形式。傅里叶是“分离变量方法”得以最终实现的伟大 功臣（因为他发现了周期函数的傅里叶级数展开）。 例题1求如下定解问题。 w=a2.,(00)…(I) 4xo=0,4x-L=0(2) 4-o=p(x),4,o=y(x…(3)

大量的偏微分方程定解问题可以通过所谓的“分离变量”方法求解。       2 0 0 0 , 0 , 0 (1) 0, 0 (2) , (3) tt xx x x L t t t u a u x L t u u u x u x                    例题1 求如下定解问题。 “分离变量”方法是数理方程求解的典型方法之一。也是人们发现的第一个数理方 程的求解方法。 “分离变量”方法的发现是众多数学家集体努力的结果：参与其中的主要人物有： 伯努力，达朗贝尔，欧拉，拉格朗日，傅里叶。其中，伯努利所起作用最大！是他 敏锐发现了弦振动解的可能形式。傅里叶是“分离变量方法”得以最终实现的伟大 功臣(因为他发现了周期函数的傅里叶级数展开)。 一、波动方程定解问题的分离变量求解

我们通过所谓的“分离变量”方法求解。它把未知函数分解为一元函数乘积！ 解：（①分离变量 (x,t)=T(t)X(x)…(4) 4=a2u,(00)…( 把(4)代入(1)与(2)整理得： 4x-0=0,4叫x=L=0…(2) T”_X…(5 4=o=p(x),4,=o=w(x)…(3) a'T X X(0)=0,X(L)=0…(6) 注意：幸好(2)中两个边界条件都是齐火的，否则，不能够得到(6)的两个简单等式。 欲使（⑤成立，等式两端必须为常数。于是，令： T"X" =-九…(7) aT X

我们通过所谓的“分离变量”方法求解。它把未知函数分解为一元函数乘积！       2 0 0 0 , 0 , 0 (1) 0, 0 (2) , (3) tt xx x x L t t t u a u x L t u u u x u x                    解： (1) 分离变量 u x t T t X x ( , ) ( ) ( ) (4)  把(4)代入(1)与(2)整理得： 2 (5) (0) 0, ( ) 0 (6) T X a T X X X L           注意：幸好(2)中两个边界条件都是齐次的，否则，不能够得到(6)的两个简单等式。 欲使(5)成立，等式两端必须为常数。于是，令： 2 (7) T X a T X      

由(7)与(6，得到两个常微分方程： X"+X=0…(8) T"+a2T=0 X(0)=0,X(L)=0…(9) 前者是关于空间变量x的二阶常系数齐次微分方程，后者是关于时间变量的二阶常系 数齐次微分方程。前者带有两个条件。 在分离变量中，我们把前者称为固有值问题（或者本征值问题）。 (2)求解固有值问题（求出固有值与固有函数） (1)当入<0时： 方程(8)的通解为：X(x)=AeFx+BeFx 由条件(9)得到平凡解：X(x)三0

前者是关于空间变量x的二阶常系数齐次微分方程，后者是关于时间变量的二阶常系 数齐次微分方程。前者带有两个条件。 在分离变量中，我们把前者称为固有值问题(或者本征值问题)。 2 T a T    0 由(7)与(6)，得到两个常微分方程： 0 (8) (0) 0, ( ) 0 (9) X X X X L         (2) 求解固有值问题(求出固有值与固有函数) (1) 当   0 时： 方程(8)的通解为：   x x X x Ae Be      由条件(9)得到平凡解： X x( ) 0 

2)当元=0时： X"+X=0…(8) 方程(8)的通解为：X=Ax+B X(0)=0,X(L)=0…(9) 由条件(9)得到平凡解：X(x)三0。 (3)当九>0时： 方程(8)的通解为：X(x)=Acos√几xr+Bsin√x 由条件(9)得到：A=0,Bsin√元L=0 B不能等于零，否则得到平凡解。于是有：sin√几L=0 从而得到春平凡解对应的入值：又="…切=2,3

0 (8) (0) 0, ( ) 0 (9) X X X X L         (2) 当 时： 方程(8)的通解为： 由条件(9)得到平凡解： X x( ) 0  。   0 X  Ax  B (3) 当   0 时： 方程(8)的通解为： X(x)  Acos x  Bsin x 由条件(9)得到： A  0,Bsin L  0 B不能等于零，否则得到平凡解。于是有： sin L  0 从而得到非平凡解对应的λ值： 2 2 2 ( 1,2,3 ) n n n L    

在分离变量求解中，对应于固有值问题非平凡解的参数值称为固有值。 对于每个固有值，对应的非平凡解称为固有函数。本例题中固有函数为： X (x)=B sin nrx.(00) 注：分离变量的核心问题是能够构建和求解固有值问题（本征值问题）】 (3)求解另一个常微分方程 对于常微分方程：T”+1aT=0(11)来说，对每个固有值，可求出通解为： ()-C.cosD,sin) nπat nπat

在分离变量求解中，对应于固有値问题非平凡解的参数值称为固有值。 对于每个固有值，对应的非平凡解称为固有函数。本例题中固有函数为： ( ) sin (10) n n n x X x B L   注：分离变量的核心问题是能够构建和求解固有值问题(本征值问题)！ (3) 求解另一个常微分方程 对于常微分方程： 来说，对每个固有值，可求出通解为： 2 T a T    0 (11) ( ) cos sin (12) n n n n at n at T t C D L L    

(④求一般解 把(10)、(12)代入(4)得： u(x)=T (t)(x)=(C cos at+D,sinuzat)s nnπx..(13) -)sin L 称(13)为定解问题固有解（本征解）。 将所有固有解叠加： πx sin- .(14) L 称(14)为定解问题一般解。 注：历史上，伯努利，欧拉等完成了上面的计算。但要通过初始条件确定一般解中系 数，受到当时数学知识的限制，在较长时间里，一筹莫展！

把(10)、(12)代入(4)得： 称(13)为定解问题固有解(本征解)。 将所有固有解叠加： 称(14)为定解问题一般解。 u (x,t) T (t)X (x) n  n n ( cos sin )sin (13) n n n at n at n x C D L L L        1 , cos sin sin (14) n n n n at n at n x u x t C D L L L               (4) 求一般解 注：历史上，伯努利，欧拉等完成了上面的计算。但要通过初始条件确定一般解中系 数，受到当时数学知识的限制，在较长时间里，一筹莫展！

突然在某日，他们看到了一个名不见经传的年轻人论文，这就是今天看来大 名鼎鼎的傅里叶级数展开，从此彻底解决了该定解问题求解。分离变量方法 宣告成功！ (⑤)求定解（定解问题的最终解） 4m=au,(00)…() 将初始条件(3)代入一般解得到： 4x-o=0,ux-L=0…(2） x0)=()-2csm"705 40=p(x),4,lo=y(x(3) ux,0)=w()=2D,"Z nrd sin nax.…(16) =1 等式(15)与(16)分别相当于把已知函数p(x),少(x)在[0，L]上按正弦傅里叶级数 展开！所以： C.=2o(传)sin"a5 n=waJw()sin”d

将初始条件(3)代入一般解得到： 突然在某日，他们看到了一个名不见经传的年轻人论文，这就是今天看来大 名鼎鼎的傅里叶级数展开，从此彻底解决了该定解问题求解。分离变量方法 宣告成功！ (5) 求定解(定解问题的最终解)       2 0 0 0 , 0 , 0 (1) 0, 0 (2) , (3) tt xx x x L t t t u a u x L t u u u x u x                    1 ( ,0) ( ) sin (15) n n n x u x x C L       1 ( ,0) ( ) sin (16) t n n n a n x u x x D L L        等式(15)与(16)分别相当于把已知函数 在[0，L]上按正弦傅里叶级数 展开！所以：   ( ), ( ) x x   0 2 sin L n n C d L L         0 2 sin L n n D d n a L       