电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第二章 定解问题与偏微分方程理论（4/4）

敫理方程与特殊函致 第二章定解问题与偏微分方程理论（四） 主讲：杨春

第二章 定解问题与偏微分方程理论(四) 主讲：杨春

主要内容 一、二阶线性偏微分方程理论 二、δ函数

主要内容 一、二阶线性偏微分方程理论 二、 δ函数

一、二阶线性偏微分方程理论 介绍两个概念： 1.线性算子：T为算子，若T(cu+cu戶cTu,+c2Tu2,称T为线性算子。 如微分算子D,拉普拉斯算子△等都是线性算子。 2.二阶线性偏微分算子： 1- 注：含有个变量的二阶线性偏微分方程可以简记为： Lu=f

介绍两个概念： 1. 线性算子：T为算子，若T(c1u1+c2u2 )=c1Tu1+c2Tu2，称T为线性算子。 如微分算子D，拉普拉斯算子Δ等都是线性算子。 2. 二阶线性偏微分算子： 一、二阶线性偏微分方程理论 2 1 1 1 n n n ij i i i i i j i L a b c    x x x           注：含有n个变量的二阶线性偏微分方程可以简记为： Lu  f

(一)叠加原理 物理背景：在物理上，常有所谓的叠加现象：即几种因素产生的总效果等于各因 素产生的效果总和。 如：力的叠加原理，振动叠加原理，电势叠加原理等。 物理上的叠加现象反映到数理方程中来，就得到线性定解问题中的叠加原理。 叠加原理1 设u,满足线性方程（或线性定解条件）： L4=f,(i=1,2,…,n) u=会c4 →空4-立1

(一) 叠加原理 物理背景：在物理上，常有所谓的叠加现象：即几种因素产生的总效果等于各因 素产生的效果总和。 如：力的叠加原理，振动叠加原理，电势叠加原理等。 物理上的叠加现象反映到数理方程中来，就得到线性定解问题中的叠加原理。 叠加原理1 设ui满足线性方程(或线性定解条件)： ,( 1,2, , ) ， Lu f i n i i   1 n i i i u c u   1 1 n n i i i i i i L c u c f    

应用理解： 如果我们要求线性方程 Lu=f的解，而f=Cf+c2f方+…+cnfn 且Lu=f,(i=1,2,…,n) 的解为山，那么：u=之c4一定是Lu=f 的解。 叠加原理2 设u满足线性方程（或线性定解条件）： L4,=fi=1,2,)。若∑c4收敛， 且算子孔能够与求和号交换次序，那么：L三c4=之c。 注：应用上类似于叠加原理1

应用理解： 如果我们要求线性方程 的解，而 且 的解为ui，那么： 一定是 1 n i i i u c u   Lu f  1 1 2 2 n n f c f c f c f     ,( 1,2, , ) Lu f i n   i Lu f  的解。 叠加原理2 设ui满足线性方程(或线性定解条件)： Lu f i i i   ( 1,2, ) 。若 收敛 ， 1 i i i c u    且算子L能够与求和号交换次序，那么： 。 1 1 i i i i i i L c u c f       注：应用上类似于叠加原理1

叠加原理3 设u(M,M)满足线性方程（线性定解条件）：Lu=f(M,Mo),其中，M与M,分别为 自变量组与参数组。且积分U()=∫u(M,M,)dM。收敛，同时L能够与积 号交换次序，那么：LU(M)=∫f(M,Mo)dM。· i证明：UD=∫(M,M,)dM。→LUM)=Lu(M,Mo)aM。 =∫Lu(M,M)dM, LUM=∫f(M,Mo)dM, Lu=f(M,M)

设u(M,M0 )满足线性方程(线性定解条件)： ,其中，M与M0分别为 自变量组与参数组。且积分 收敛，同时L能够与积 叠加原理3   0 Lu  f M,M ( ) ,  0 0  v U M u M M dM   号交换次序，那么： ( ) ,  0 0  。 v LU M f M M dM   证明： ( ) ,  0 0  v U M u M M dM   ( ) ,  0 0  v LU M L u M M dM    , 0 0  v   Lu M M dM   0 Lu  f M,M ( ) ,  0 0  v LU M f M M dM  

(二)解的结构定理 解的结构定理：非齐次线性偏微分方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的 通解与非齐次方程的一个特解之和。 例1求泊松方程△，u=12x2-12y2的一般解。 解：根据方程的结构观察，令方程特解形式为：u=a+by 将其代入方程求得：u1=x4y 5=x 下面求对应齐次方程通解。作变换： =-y →4g-4=0 →5，)=f(5+n)+f6(5-)→ 4(x,y)=f(x-y)+f5(x+y) 所以，原方程通解为：U(x,y)=(x-y)+f(x+y)+x4-y

解的结构定理：非齐次线性偏微分方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的 通解与非齐次方程的一个特解之和。 (二) 解的结构定理 例1 求泊松方程 2 2 的一般解 。 2    u x y 12 12 解：根据方程的结构观察，令方程特解形式为： u1=ax4+by4 将其代入方程求得：u1 = x 4 -y 4 下面求对应齐次方程通解。作变换： x iy         u u 0     1 2 u f f ( , ) ( ) ( )           1 2 u x y f x iy f x iy ( , ) ( ) ( )     所以，原方程通解为： 。 4 4 1 2 U x y f x iy f x iy x y ( , ) ( ) ( )      

(三)齐次化原理 在波动方程与热传导方程定解问题求解中，常常使用到对应的齐次化原理。 齐次化原理1 如果W(M,t;t) 满足 8t2 =Lo,(M∈R,t>t) ,那么非齐次柯西问题 8-a+fu).(weR 的解为：u=∫W(M,t)dr。 1=0 4lo=0, 分析：把解代入非齐次柯西问题中逐一验证即可

在波动方程与热传导方程定解问题求解中，常常使用到对应的齐次化原理。 (三) 齐次化原理 齐次化原理1 如果 W M t ( , ; )  满足 ，那么非齐次柯西问题   2 3 2 ,( , ) 0, , t t L M R t t f M t                           2 3 2 0 0 , ,( , 0) t t 0, 0 u Lu f M t M R t t u u t                  的解为：   。 . .0 , ; t u W M t d     分析：把解代入非齐次柯西问题中逐一验证即可

62o ot2 =L0,(MeR3,1>t) 证明： a=0, ==f(M,t) ①u=0w(M,5x)dr→4o=0 8'u =Lu+f(M,1),(MeR,t>0) ②u=0w(M,)dr→ 1e0=0 -war+w(a儿 u-SW(M.t.t)dr -m→=0 (3) 0」◆产-mdr+ t2 8t -2d+=f+--0

证明：   2 3 2 ,( , ) 0, , t t L M R t t f M t                           2 3 2 0 0 , ,( , 0) t t 0, 0 u Lu f M t M R t t u u t                    . .0 , ; t u W M t d     (1)   . .0 , ; t u W M t d     u t0  0 (2)   . .0 , ; t u W M t d         . .0 , ; , ; t t u W M t d W M t t t             .   .0 t W M t, ; d t       t 0 0 u t     .   .0 u t W M t, ; d t t         (3)     2 2 . 2 2 .0 t , ; , ; t u W M t W M t d t t t               .   .0 t , ; t W M t LWd t          .   .0 t , ; t W M t L Wd t            Lu f M t ( , )

注：1、在应用上： u =Lu+f(M,),(M∈R,1>0) =Lw,(M∈R,t>t) 8p 4=o=0, 1 (M.) ↓ 3 u=Jw(M,)dr☐ W(M,t;r) 2、齐次化原理1用来求解相应的波动方程定解问题

注：1、在应用上：   2 3 2 ,( , ) 0, , t t L M R t t f M t                           2 3 2 0 0 , ,( , 0) t t 0, 0 u Lu f M t M R t t u u t                    . .0 , ; t u W M t d     W M t  , ;  1 2 4 3 2、齐次化原理1用来求解相应的波动方程定解问题