电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第七章 Bessel函数 §7.1 Bessel方程的求解

激学物理方程与特殊函激精品课程 第七章Bessel函数 主讲：李明奇副教授

主讲：李明奇 副教授 第七章 Bessel函数

§7.1 Bessel方程的求解 一、n阶Bessel方程 x2 d'y 贝塞尔函数 岁+x%+(x2-n2)y=0 Bessel Functions n为任意实数和复数 不妨暂先假定心≥0，设方程有一个级数解形式为 y=x‘(a0+41x+a2x2+…akxk+…) =∑4kx+,an≠0 FRANK BOWMAN INTRODUCTION TO k=0 BESSEL FUNCTIONS 80 FRIEDRICH WILHELM BESSEL 1846

§7.1 Bessel方程的求解 2 一、n 阶Bessel方程 2 2 2 2 2 ( ) 0 d y dy x x x n y dx dx     n为任意实数和复数 不妨暂先假定 n≥0, 设方程有一个级数解形式为 2 0 1 2 0 0 ( ) , 0 c k k c k k k y x a a x a x a x a x a           

代入得 2{[(c+k)(e+k-)+(e+k)+(x2-)]ax}=0 化简后写成 (e2-r)a+[e+-]a,x+2e+k-n],+a}=0 从而得下列各式： a,(c2-2)=0 (c+k)-n2)0+ak-2=0,k=2,3,… 3

3 代入得          2 2 0 1 0 c k k k c k c k c k x n a x                 化简后写成         2 2 2 2 2 1 2 0 1 2 2 1 0 c c c k k k k c n a x c n a x c k n a a x                        从而得下列各式： 2 2 0 a c n ( ) 0      2 2 2 0, 2,3, k k c k n a a k      

取c=n 41=43=45=02=…=0 一Lk-2 ax=k(2n+k) -0 ao %=2(2n+2),0,=2-42n+2)(2n+4’ 一o a6=2.4:6(2n+2)(2n+4)(2n+6) a2m=(-10” do 2.4.6…2m(2n+2)(2n+4)…(2n+2m) 4

4 取 c=n 2 (2 ) k k a a k n k     1 3 5 7 a a a a      0 0 0 2 4 0 6 0 2 , , 2(2 2) 2 4(2 2)(2 4) 2 4 6(2 2)(2 4)(2 6) ( 1) 2 4 6 2 (2 2)(2 4) (2 2 ) m m a a a a n n n a a n n n a a m n n n m                     

a2m三 (-1)"a0 22mm:(n+1)(n+2)…(n+n) 一般项为 do xn+2m 22mm!(n+1)(n+2)…(n+n) (n+m)(n+n-1).(n+2)(n+1)T(n+1)=T(n+m+1) 1 1 ao=2"T(n+1) a2m=(-1)" 2n+2mm!Γ(n+m+1) y=之(-1)” +2m i=0 2+2"m!T(n+m+1) ,h≥0 5

5 0 2 2 ( 1) 2 !( 1)( 2) ( ) m m m a a m n n n m      一般项为 0 2 2 ( 1) 2 !( 1)( 2) ( ) m n m m a x m n n n m      ( )( 1) ( 2)( 1) ( 1) ( 1) n m n m n n n n m            2 2 1 ( 1) 2 ! ( 1) m m n m a  m n m      2 1 2 0 ( 1) , 0 2 ! ( 1) n m m n m m x y n m n m            0 1 2 ( 1) n a n   

n阶第一类Besselp函数 十0 Jn()=∑(-1)" 七+2m 0 2+2m:r(n+2+),n≥0 T(x+1)=xT(x),T(n+m+1)=(n+m)!,n∈Z+ r0=1,r()=元 6

6 n阶第一类Bessel函数 2 2 0 ( ) ( 1) , 0 2 ! ( 1) n m m n n m m x J x n m n m            ( 1) ( ), ( 1) ( )!, x x x n m n m n Z           1 (1) 1, 2           

取时c=一1，用同样方法可得另一特解 Jn(x)=≥-1)” 七-n+2m 2*2mmT(-n+n+)n≠12，… 1.当n不为整数时 J.(d+()→0Jr-+()”→ y=AJ(x)+BJ (x) 2.当n为整数时Jn(x)=(-1)”J,(x) 7

7 取时c=－n，用同样方法可得另一特解 2 2 0 ( ) ( 1) , 1,2, 2 ! ( 1) n m m n n m m x J x n m n m                ( ) ( ) n n y AJ x BJ x    1 ( ) 0 ( 1) 2 n n x J x n           1. 当 n 不为整数时 2. 当 n 为整数时 ( ) ( 1) ( ) n J x J x n n   1 ( ) ( 1) 2 n n x J x n              

曲线图 w=1-(ヅ+2(6(+… =空-2(+23()-… Bessel Functions of the First Kind Jo(x) J(x) J2X】 S202 0 14 16 1820

8 曲线图 2 4 6 0 2 2 3 5 1 1 1 ( ) 1 2 (2!) 2 (3!) 2 1 1 ( ) 2 2! 2 2!3! 2 x x x J x x x x J x                                       

Jv2(x)=V元x T(x+1)=T(x) 例试证半奇阶Besseli函数 sinx ()a 证明： 人-含-w2mw 七1/2+2m 2=0 T+m+)=r2"m21+=2m*lr2m*-2m*1r2"?1+) 2 1.3.5(21+1)√元 2m+ x2m sinx 元X 9

9 例 试证半奇阶Bessel函数 1/2 2 J x x ( ) sin  x  1/2 2 1/2 0 1/2 2 ( ) ( 1) 1 2 ! ( 1) 2 m m m m x J x m m           1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 2 2 2 2 2 2 1 3 5 (2 1) 2 m m m m m m m m                         2 1 1/2 0 2 ( 1) 2 ( ) sin (2 1)! m m m J x x x   x m x         证明：     ( 1) ( ) x x x1 2         

定义第二类Besseli函数为 Y,(x)=lim Ja(x)cosan-Jo(x) sin元 它既满足Bessel方程，又与J,x)线性无关 w=是.(s(空+c20m(） -n+2m 器点 n+2m n+m-1 元 m(n+n)日 10

10 定义 第二类Bessel函数为 ( )cos ( ) ( ) lim sin n n J x J x Y x          它既满足Bessel方程，又与 Jn (x)线性无关 2 1 0 2 1 1 0 0 0 2 1 ( 1)! ( ) ( ) ln 2 ! 2 ( 1) 1 1 1 2 !( )! 1 1 n n m n n m n m m n m m m k k x n m x Y x J x c m x m n m k k                                                      