电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第四章 行波法（2/3）

激理方程与特殊函致 第四章行波法（二） 主讲：杨春

第四章 行波法(二) 主讲：杨春

本次课主要内容 一、三维波动方程柯西问题的泊松公式 二、泊松公式的物理意义

本次课主要内容 一、三维波动方程柯西问题的泊松公式 二、泊松公式的物理意义

一、三维波动方程柯西问题的泊松公式 求解：三维空间自由振动波动方程定解问题： &x ,(-o00) 4川o=0(,y2)0 =0=Ψ(x,y,2) (一)、球对称情形 定义：如果波函数只与径向有关，则称波函数具有球对称性

  2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 , , , , 0 ( , , ), ( , , ) t t u u u a x y z t t x y z u u x y z x y z t                                    一、三维波动方程柯西问题的泊松公式 求解：三维空间自由振动波动方程定解问题： (一)、球对称情形 定义：如果波函数只与径向有关，则称波函数具有球对称性

引入球坐标变换： x=rsinθcosp y=rsin0sinp.(0≤r<+oo,0≤p≤2π，0≤0≤π) z=rcos0 则三维自由振动波动方程化为： Bu 102u-1au 2a2812 在球对称下，方程退化为： 0r2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin sin sin u u u u r r r r r r a t                                  引入球坐标变换： 则三维自由振动波动方程化为： sin cos sin sin (0 ,0 2 ,0 ) cos x r y r r z r                         在球对称下，方程退化为： 2 2 2 2 2 1 1 u u r r r r a t                2 2 2 2 2 ( ) ru ru a r t     

于是得到通解： u=fr+a+f6r-am)→Mr,=fC+at)+5C-a四 r 这就是说，具有球对称情况下的三维问题退化为一维问题求解。 对于不具有球对称解的三维波动方程柯西问题，如何求其定解？ (二)小、一般情形 方法是通过讨论波函数的球面平均值具有的性质，得到自由振动的三维波动方程柯 西问题的定解公式一泊松公式。 1、波函数的球面平均值 u(r,t)= 4 为以M(飞，y,为心，r为半径的球面上的平均值。 称d①为面积微元dS对球心所张成的立体角

于是得到通解： 这就是说，具有球对称情况下的三维问题退化为一维问题求解。 1 2 ru f r at f r at     ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( , ) f r at f r at u r t r     对于不具有球对称解的三维波动方程柯西问题，如何求其定解？ (二)、一般情形 方法是通过讨论波函数的球面平均值具有的性质，得到自由振动的三维波动方程柯 西问题的定解公式—泊松公式. 1、波函数的球面平均值 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 4 4 M M S S r r u r t u M t dS u M t d   r        为以M (x, y, z)为心，r为半径的球面上的平均值。 称dΩ为面积微元dS对球心所张成的立体角

显然：波函数与它的球面平均值的关系为： u(M,t)=limi(r,t)=u(0,t) r→0 2、波函数球面平均值通解 un a'Au 「△udW 由高斯公式： 4 _ds a'r2 4元 袋aa-r8aa-o00

显然：波函数与它的球面平均值的关系为： 由高斯公式： 2、波函数球面平均值通解 2 2 2 1 4 4 M M V V r r u a dV udV   t       0 ( , ) lim ( , ) (0, ) r u M t u r t u t    2 tt u a u   2 2 4 4 M M V S r r a a udV u dS         2 4 MSr a udS  n     2 4 MSr a u dS  r     2 2 4 MSr a r u d  r      2 2 1 4 MSr a r ud r               2 2 ( , ) (1) u r t a r r   

对于 器n-dpfpuar.n-ay 于是，由(1)与(2)得到： 器dn时d= Or 将上式两边对r求导数并除以r得到： -新

对于 2 2 1 4 M Vr u dV  t    . . 2 . 2 .0 1 ( , ) (2) 4 M r S d u M t dS t          于是，由(1)与(2)得到：   2 . 2 2 2 .0 1 , ( , ) 4 MS r u r t d u M t dS a r t r            将上式两边对r求导数并除以r 2得到： 2 2 2 2 2 2 1 4 MSr a u udS r t r r r r                       

于是得到： gr)→0m 通解为：rm(r,t)=f(r+at)+2(r-at)…(3) 3、u(0,t)的计算 首先，由等式3)得到： f(at)+2(-at)=0…(4) ↓ f'(at)=f分(-at)…(5) 其次，等式(3)两边对求导数并令r=0得到： u(0,t)=f'(at)+f分(-at)(6)

于是得到： 2 2 2 2 2 u a u r t r r r              通解为： ru r t f r at f r at  , (3)      1 2     2 2 2 2 2 ( ) ( ) ru ru a t r      3、 u t (0, ) 的计算 首先，由等式(3)得到： f at f at 1 2        0 (4) f at f at 1 2        (5) 其次，等式(3)两边对r求导数并令r = 0得到： u t f at f at 0, ( ) (6)     1 2    

u(0,t)=f'(at)+f分(-at)…(6) '(at)=f3(-at)…(5) a(0,t)=2f'(at)…(7) 4、泊松公式 将(3)两端对t求导并除以a得： 8a(]=r+a叫-乃-m-网 将3)两端对r求导得： 8[mc]-=fc+am）+g-9 (8)与(9)相加得： 8[rmv.小+arz=2f+a1o

将(3)两端对t求导并除以a 得： u t f at f at 0, ( ) (6)     1 2     f at f at 1 2        (5) 1 u t f at (0, ) 2 ( ) (7)   4、泊松公式   1 2     1 ru r t f r at f r at , (8) a t             将(3)两端对r求导 得： ru r t f r at f r at  , (9)  1 2     r             (8)与(9)相加得：     1 1 ( , ) ( , ) 2 ( ) (10) t ru r t ru r t f r at r a      

在(10)中令t=0得： 2f-[ar.0+rmc0) -导每5araw 由初始条件得到： 2f'(r) 教小n 在上式中令=t得：

在(10)中令t=0 得： 1   1 2 ( ) ( ,0) ( ,0) t f r ru r ru r r a      2 2 ( , , ,0) ( , , ,0) 4 4 M M r r t S S r r u r dS u r dS r r ar                     由初始条件得到： 2 ( ) 1 f r  1 ( ) 1 ( ) 4 4 M M S S r r M M dS dS r r a r                     在上式中令r=at 得： 2 ( ) 1 f at  1 ( ) 1 ( ) 4 4 M M S S at at M M dS dS r at a at                    