常微分方程数值解 差分格式的稳定性 线性多步法 常微分方程组的有限差分法 高阶常微分方程的有限差分法
1 差分格式的稳定性 线性多步法 常微分方程组的有限差分法 高阶常微分方程的有限差分法 常微分方程数值解
稳定性 定义若一种数值方法在节点值ym上大小为6的扰动，对于 以后各节点值y,m(>m)上产生的偏差均不超过δ，则称该方法 是稳定。 以欧拉法为例考察计算稳定性. 例考察初值问题 y'=-100y, y(0)=1. 其准确解y)=e-10x是一个按指数曲线衰减得很快的函数，如 下图所示： 2
2 定义 若一种数值方法在节点值 yn 上大小为δ 的扰动，对于 以后各节点值 ym(m>n) 上产生的偏差均不超过δ，则称该方法 是稳定。 以欧拉法为例考察计算稳定性. 例 考察初值问题 (0 ) 1 . 100 , y y y 其准确解 y(x)=e -100x是一个按指数曲线衰减得很快的函数，如 下图所示：
用欧拉法解方程y'=-100y得 y ym+1=(1-100h)yn 3 若取h=0.025,则欧拉公式的 2 X y-Y(x) 具体形式为 0.0250.050 0.0750.100 -2 Jym+1=-1.5yn3 -3 -4 -5 可以看到，欧拉方法的解ym(图中用×号标出) 在准确 值y(化)的上下波动，计算过程明显地不稳定. 但若取=0.005，则计算过程稳定 3
3 (1 100 ) . n 1 n y h y 若取 h=0.025，则欧拉公式的 具体形式为 1.5 , n 1 n y y 可以看到，欧拉方法的解 yn（图中用×号标出）在准确 值 y(xn )的上下波动，计算过程明显地不稳定. 但若取 h=0.005，则计算过程稳定. 用欧拉法解方程 y' = -100y 得
再考察欧拉隐式方法，取=0.025时计算公式为 1 yn+1= 3.5 计算结果如下，这时计算过程是稳定的， 计算结果对比 节点 欧拉方法 欧拉隐式方法 0.025 -1.5 0.2857 0.050 2.25 0.0816 0.075 -3.375 0.0233 0.100 5.0625 0.0067 4
4 . 3 .5 1 n 1 n y y 计算结果如下，这时计算过程是稳定的. 0 .100 5 .0625 0 .0067 0 .075 3 .375 0 .0233 0 .050 2 .25 0 .0816 0 .025 1 .5 0 .2857 节点 欧拉方法 欧拉隐式方法 再考察欧拉隐式方法，取 h=0.025 时计算公式为 计算结果对比
线性多步法的一般公式 如果计算y+k时，除用y+k-1的值，还用到y+i(=0,1,2,,k-2) 的值，则称此方法为线性多步法. 一般的线性多步法公式可表示为 yn+k=》 ay+Bf i=0 其中yHi为Jy(xH)的近似，f+i=f化ti,yi),xi=xo+h a1,:为常数，ao及阝不全为零，则称为线性k步法 计算时需先给出前面k个近似值o,y12,…yk-1,再逐次求出 Jyk,Jyk+1,yk+2)… 5
5 线性多步法的一般公式 如果计算yn+k时，除用 yn+k-1的值，还用到 yn+i (i=0,1,2,...,k-2) 的值，则称此方法为线性多步法. 一般的线性多步法公式可表示为 , 0 1 0 k i i n i k i n k i n i y y h f 其中 yn+i 为 y(xn+i) 的近似，fn+i = f(xn+i , yn+i ), xn+i = x0+ih αi , βi为常数, α0及 β0 不全为零，则称为线性 k 步法. 计算时需先给出前面 k个近似值y0 , y1 ,y2 , ... yk-1,再逐次求出 yk , yk+1 ,yk+2 ,
阿当姆斯显式与隐式公式 考虑形如 ya yak-i+h2 的k步法， 称为阿当姆斯(Adams)方法. =0为显式方法，B≠0为隐式方法，通常称为阿当姆斯显 式与隐式公式，也称Adams-Bashforth公式与Adams-Monlton公 式 6
6 阿当姆斯显式与隐式公式 考虑形如 k i n k n k i n i y y h f 0 1 的 k 步法，称为阿当姆斯（Adams)方法. βk=0为显式方法，βk ≠ 0为隐式方法，通常称为阿当姆斯显 式与隐式公式,也称Adams-Bashforth公式与Adams-Monlton公 式
阿当姆斯显式公式 k 公式 1 1 ynti =yn +hfr 2 2 =火+2/-） 3 3 4=%+023/.-l161+51.:） 1=.+2455。-59j1+37f2-9f） h 4 4 7
7 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 2 (3 ) 2 3 3 (23 16 5 ) 12 4 4 (55 59 37 9 ) 24 n n n n n n n n n n n n n n n n n n k p y y h f h y y f f h y y f f f h y y f f f f 公式 阿当姆斯显式公式
例 y'=-yIny, 精确解为： y(0)=1/2. y=e(-In2)e! n=hi 二阶Adams 四阶Adams 8 0.28474335730512E-02 0.19742002576040E-05 16 0.67170745938105E-03 0.12099205870530E-06 32 0.16212367000479E-03 0.72652883709168E-08 64 0.39755173993794E-04 0.44197434601045E-09 128 0.98386454340238E-05 0.27204238861600E-10 256 0.24469431793017E-05 0.16866508190105E-11 512 0.61013351659867E-06 0.10536016503693E-12 1024 0.15233231198675E-06 0.76605388699136E-14 8
8 精确解为： 例 ' ln , (0) 1 / 2. y y y y ( ln2) . t e y e n = h-1 二阶Adams 四阶Adams 8 0.28474335730512E-02 0.19742002576040E-05 16 0.67170745938105E-03 0.12099205870530E-06 32 0.16212367000479E-03 0.72652883709168E-08 64 0.39755173993794E-04 0.44197434601045E-09 128 0.98386454340238E-05 0.27204238861600E-10 256 0.24469431793017E-05 0.16866508190105E-11 512 0.61013351659867E-06 0.10536016503693E-12 1024 0.15233231 l 98675E-06 0.76605388699136E-14
阿当姆斯隐式公式 k P 公式 h 1 2 yn+ (f+1+fn) 2 3 yn+1= n+ 2(5f+1+8f。-fn-1) 3 4 yn+1= y+ 249f1+19f.-5f+f-) h 4 5 yn+1 n+ 。(251fm+1+646fn-264fm-1 720 +106fn-2-19fn-3) 9
9 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 2 ( ) 2 2 3 ( 5 8 ) 1 2 3 4 ( 9 1 9 5 ) 2 4 ( 2 5 1 6 4 6 2 6 4 4 5 7 2 0 1 0 6 1 9 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n k p h y y f f h y y f f f h y y f f f f h y y f f f f f 公 式 阿当姆斯隐式公式
一阶常微分方程组的有限差分法 =f(x,y,y2,…,ymx>0,(i=1,2,…,m). dx y;(xo)=yi, 引入向量记号： y(x)=(y1,y2,…,ym) f(x,y)=[f1(x,y),f2(x,y),…,fm(x,y)川 y(x)=(y,y2,…,ym) 则上面的初值问题可写为： 10
10 一阶常微分方程组的有限差分法 1 2 0 0 0 ( , , , , ), ,( 1, 2, , ). ( ) , i i m i i dy f x y y y x x dx i m y x y 引入向量记号： T m y( x ) ( y , y , , y ) 1 2 T m f ( x , y ) [ f ( x , y ), f ( x , y ), , f ( x , y )] 1 2 T m y ( x ) ( y , y , , y ) 0 0 2 0 0 1 则上面的初值问题可写为：