科学计算的基本概念 关于计算误差讨论 算术运算的误差估计 1/12
关于计算误差讨论 算术运算的误差估计 科学计算的基本概念 1/12
关于计算误差讨论 >误差分类 模型误差：建立数学模型时所引起的误差 观测误差：测量工具的限制或在数据的获取时 随机因素所引起的物理量的误差。 截断误差：求解数学模型时，用简单代替复杂 或者用有限过程代替无限过程所引起的误差。 舍入误差：计算机表示的数的位数有限，通常用 四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差 2/12
模型误差: 建立数学模型时所引起的误差； Ø误差分类： 舍入误差：计算机表示的数的位数有限，通常用 四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差。 截断误差：求解数学模型时，用简单代替复杂, 或者用有限过程代替无限过程所引起的误差。 观测误差：测量工具的限制或在数据的获取时 随机因素所引起的物理量的误差。 关于计算误差讨论 2/12
>误差的有关概念 假设某一数据的准确值为x*,其近似值 为x,则称 e(x)=x x* 为x的绝对误差。 而称 e(x) e(x)= (x*≠0) 米 x 为x的相对误差。 e(x) x一X 也用e,)= (x≠0) X 3/12
假设某一数据的准确值为 x* ,其近似值 为 x，则称 , ( 0) ( ) ( ) * x x x x x e x e x 而称 r 为 x 的相对误差。 Ø误差的有关概念 e(x)= |x - x *| 为 x 的绝对误差。 3/12 ( 0) , x x x x x e(x) e (x) * 也用 r
如果存在一个适当小的正数ε，使得 e(x)=x"-x 5o 则称E为绝对误差限。 如果存在一个适当小的正数￡，，使得 e(x) 一X e(x)= ≤， 称e,为相对误差限。 4/12
如果存在一个适当小的正数ε ，使得 e(x) x x 则称ε为绝对误差限。 称εr为相对误差限。 如果存在一个适当小的正数εr ，使得 r r x x x x e x e x ( ) ( ) 4/12
定义 一个有n位有效数字的数 x=t0.a,42…an×10m 则绝对误差限应满足： c=K-3x10 5/12
m x 0.a1a2 an 10 m n e x x x 10 2 1 ( ) 一个有n 位有效数字的数 则绝对误差限应满足： 定义 5/12
部分数学基础知识 1.一元函数J=f几x)的Taylor公式 fx)=fx*)+(x-x*)fx)+' 2(x-x*)2+… f"(x +1 2(x-xy”+ (x*一x) f(5). (n+1)! 或 fx)=fx)+(x-x)fx)+' 2(x-x*+ 2 -x+O-". nl 6/12
( ). ( 1)! ( * ) ( *) ! ( ) ( *) 2 ''( ) ( ) ( *) ( *) ( ) ( 1) ( ) 1 2 n n n n f n x x x x n f x x x f x f x f x x x f x 1.一元函数 y=f(x)的Taylor 公式 部分数学基础知识 ( *) ( * ) . ! ( ) ( *) 2 ''( ) ( ) ( *) ( *) ( ) ( ) 2 n n n x x O x x n f x x x f x f x f x x x f x 或 6/12
部分数学基础知识 2.一元函数y=x)的均值定理 f(5)= J(b)-f(a) b-a 或 f(x)-f(x)=f(5)(x-x) 3.一元函数y=fx)的积分中值定理：设f和g都在 C(Ia,b)中，并假设g在区间Ia,b1上的不会变号。 则存在一个点∈【a,b]使得 ∫gu)fu)d=f5)ga. 7/12
2.一元函数 y=f(x)的均值定理 部分数学基础知识 或 ( ) ( ) ( ) . f b f a f b a f x1 f x2 f ( ) x1 x2 . 3.一元函数 y=f(x)的积分中值定理：设f和g都在 C([a，b])中，并假设g在区间[a，b]上的不会变号。 则存在一个点ξ∈ [a，b]使得 ( ) ( ) ( ) ( ) . b b a a g t f t dt f g t dt 7/12
部分数学基础知识 4.近似相等：如果两个量彼此近似相等，我们 将使用符号“≈”表示这种关系。比如A≈B. 注：近似相等满足代数运算中的“等价关系” 的传递，对称和反身性质 A≈B,B≈C→A≈C A≈B→B≈A A≈A 8/12
4.近似相等：如果两个量彼此近似相等，我们 将使用符号“≈”表示这种关系。比如A≈B. 部分数学基础知识 注：近似相等满足代数运算中的“等价关系” 的传递，对称和反身性质 A B, B C A C A B B A A A 8/12
部分数学基础知识 5.渐近阶：使用的一种所谓的“O”表示法来 表示“渐近”近似。比如： 若 y-y≤C( 则记为 y=y+(B(h)), 当h>0. 其中 mB=0. 9/12
5.渐近阶：使用的一种所谓的“ O”表示法来 表示“渐近”近似。比如： 部分数学基础知识 若 ( ) h y y C h ( ( )), 0. h y y O h 当 h 0 lim ( ) 0. h h 则记为 其中 9/12
算术运算的误差估计 1.一元函数J=fx)误差分析（准确值y*=x*)） 由Taylor公式 f(x)-f(x)=(x*-x)f'(x)+ 2 e(y)=y*-y≈x*-xlf'(x)≤'(x)|(x) 所以 (y)f'(x)(x) 同理： 8,0≈1，x f(x) 10/12
1.一元函数 y=f(x)误差分析( 准确值 y*=f(x*) ) ( ) 2 ( * ) ( *) ( ) ( * ) ( ) 2 f x x f x f x x x f x | e( y) || y * y || x * x || f (x) || f (x) | (x) | ( ) ( ) ( ) ( ) | x f x xf x y r r 同理: 所以 (y) | f(x)|(x) 算术运算的误差估计 由Taylor 公式 10/12