电子科技大学：《偏微分方程 Partial Differential Equations》课程教学资源（课件讲稿）现代理论：第二章 二阶抛物型方程 2.1 二阶抛物型方程

电子神枝女学 例 956 第二章二阶抛物型方程 1

第二章 二阶抛物型方程 1

第二章二阶抛物型方程 ◆2.1二阶抛物型方程 ◆2.1.1定义 ◆2.1.2弱解的存在性 ◆2.1.3弱解的正则性

第二章 二阶抛物型方程  2.1 二阶抛物型方程  2.1.1 定义  2.1.2 弱解的存在性  2.1.3 弱解的正则性

2.1二阶抛物型方程 2.1.1定义 设U是R”中的有界开集，对于T>0,记U,=U×(0,T]。 我们首先研究初边值问题 ut+Lu=∫，(x,t)∈Ur, u=0,(x,t)∈0U×[0,T, (2.1) u=g,(x,t)∈U×{t=0} 其中f:U,→R,g:U→R为已知函数，u=(x,):Ur→R为未知函数。对任 意>0，C表示一个二阶线性偏微分算子，具有下面的散度形式： Lu=->(a(,t)u);+bi(,t)uz:+c(,t)u (2.2) i,j=1 i=1

2.1.1 定义 设 是 中的有界开集，对于 ，记 。 我们首先研究初边值问题 其中 ， 为已知函数， 为未知函数。对任 意 ， 表示一个二阶线性偏微分算子，具有下面的散度形式： 2.1 二阶抛物型方程 U : T f U  u u x t U   ( , ) : T n T  0 (0, ] U U T T   g U:  t  0

2.1二阶抛物型方程 2.1.1定义 或非散度形式 n Lu=- ∑a可(，tu西+∑(e,tu,+c(r,u (2.3) i,j= i=1 其中，a”,b,c(i,j=1,…,n)为定义在U上的已知函数

2.1 二阶抛物型方程 2.1.1 定义 或非散度形式 其中， a b c i j n ij i , , ( , 1, , )  为定义在 UT 上的已知函数

2.1二阶抛物型方程 2.1.1定义 定义：设C是由(2.2)式或（2.3)式定义，如果存在一个常数0>0，使得 ∑a(,t)s5≥0l,H(c,t)∈Ur,5∈1R. (2.4) i,j=1 则称二阶线性偏微分算子己+C是（一致）抛物的。 Ot

2.1 二阶抛物型方程 2.1.1 定义 定义：设 是由（2.2）式或（2.3）式定义，如果存在一个常数 ，使得 则称二阶线性偏微分算子 是（一致）抛物的。   0 t   

2.1二阶抛物型方程 2.1.2弱解的存在性 定义：称-个函数u∈L(0,T,H(U)(∈L(0,T,H-(U)是抛物方程初边值问 题(2.1)的一个弱解，如果 ()u,)+B[u,v;t=(f,v),v∈H(U),a.e.0≤t≤T; auo=g.(台uc,pda=/9ydt,p∈C(U)

2.1 二阶抛物型方程 2.1.2 弱解的存在性 定义：称一个函数 （ 是抛物方程初边值问 题（2.1）的一个弱解，如果 2 1 0 u L T H U  (0, ; ( )) 2 1 u L T H U (0, ; ( ))  

2.1二阶抛物型方程 2.1.2弱解的存在性 对于给定的正整数m,寻找一个函数um:[0,T]→H(U)形为 um(t):=∑R1d(t)Wk, (2.14) 其中，我们选择系数d(t)(0≤t≤T,k=1,2,…m)满足 d(0)=(g,Wk),k=1,,m, (2.15) (um,W)+B[um,Wk;t=（f,Ws),0≤t≤T,k=1,2,,m, (2.16) 这里(，)表示(U)中的内积

2.1 二阶抛物型方程 2.1.2 弱解的存在性 对于给定的正整数 ，寻找一个函数 形为 其中，我们选择系数 满足 这里 表示 中的内积。 m 1 0 :[0, ] ( ) m u T H U  ( )(0 , 1, 2, ) k m d t t T k m    (, ) 2 L U( )

2.1二阶抛物型方程 2.1.2弱解的存在性 a Galerkini近似 定理1（近似解的构造)：对每一个正数m=1,2,.,存在唯一的形为（2.14) 的函数um(t)满足（2.15)式和（2.16)式。 b能量估计 定理2（能量估计）：存在常数C,只依赖于U,T及C的系数，使得 max um (t)l2U)+lluml2(0H+m2(o.)) 0<t<T (2.20) ≤C(flz2(0,T:L2(U)+gl2(U),m=1,2,…

2.1 二阶抛物型方程 定理1（ 近似解的构造）：对每一个正数 ，存在唯一的形为（2.14） 的函数 满足（2.15）式和（2.16）式。 a Galerkin近似 m 1, 2, ( ) m u t b 能量估计 定理2（能量估计）：存在常数 C ，只依赖于 U ， T 及 的系数，使得 2.1.2 弱解的存在性

2.1二阶抛物型方程 c存在性和唯一性 定理3（弱解的存在性）：问题（2.11)存在一个弱解 u∈L2(0,T;H(U),ut∈L2(0,T;H-1(U) 定理4（弱解的唯一性)：问题(2.11)的弱解是唯一的

2.1 二阶抛物型方程 c 存在性和唯一性 定理3（弱解的存在性）：问题（2.11）存在一个弱解 定理4（弱解的唯一性）：问题（2.11）的弱解是唯一的

2.1二阶抛物型方程 2.1.3弱解的正则性 定理5（改进的正则性）： (i)设g∈H(U),f∈L2(0,T,L2(U),又设u∈L(0,T;H(U),∈L2(0,T;H-(U), u是问题 (ui+Lu=f, (x,t)∈Ur, u=0, (c,t)∈∂U×[0,T], u=g, (x,t)∈U×{t=0} 的弱解，则u∈L(0,T;H2(U)∩L(0,T;H(U),d∈L2(0,T,L2(U)且 ess sup‖u(t)‖lH(U)+‖ulz2(o,T:H2(w)+ulz2(o,T:Z2(U) 0≤t≤T (2.46) <C(f2o.:2))+g)

2.1 二阶抛物型方程 2.1.3 弱解的正则性 定理5（改进的正则性）： （i)设 ， ，又设 ， ， 是问题 的弱解，则 ， 且 1 0 g H U  ( ) 2 2 f L T L U  (0, ; ( )) 2 1 0 u L T H U  (0, ; ( )) 2 1 u L T H U (0, ; ( ))   u 2 2 1 0 u L T H U L T H U (0, ; ( )) (0, ; ( ))   2 2 u L T L U  (0, ; ( ))