电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第4章 二阶矩过程的均方微积分 第4节 随机过程的均方导数

§4.4随机过程的均方导数 一、均方导数概念 定义4.4.1 {X(),t∈T是二阶矩过程，对于 确定的t∈T,若存在Y∈H,使得 I.i.m X(t+△)-X( -Y △t→0 △t 称X(在t处均方可微（可导），称Y为X() 在t处的均方导数，记为 X(@ 或X'(t). dt

§4.4 随机过程的均方导数 一、均方导数概念 定义4.4.1 {X(t),t∈T}是二阶矩过程, 对于 确定的 t∈T , 若存在 Y∈H, 使得 Y t X t t X t t        ( ) ( ) l.i.m 0 称X(t)在t 处均方可微(可导)，称Y 为 X(t) 在 t 处的均方导数, 记为 ( ). ( ) X t dt dX t 或 

dX(t) 或X'(t), t 若对t∈T,X(t)都均方可微，称{X(t),t∈T} 为均方可微过程. 可证明均方导数过程 {X'(t),t∈T} 仍是二阶矩过程.可定义其均方导数过程 {X"(t),t∈T, 其余各高阶导数依此余推 X"(t),X"(t),…X”(t), t∈T

电子科技大学 ( ). ( ) X t dt dX t 或  若对t∈T, X( t )都均方可微, 称 为均方可微过程. {X(t),t T} 可证明均方导数过程 {X(t),t T} {X(t),t T}, 仍是二阶矩过程. 其余各高阶导数依此余推. 可定义其均方导数过程 ( ), ( ), ( ), . ( ) X t X t X t t T n    

EX.1试求随机过程 X(t)=At+B 的均方导数，其中A、B是相互独立的随机变量. 解X'()=l.im X(t+△t)-X(t) △t→0 △t l.i.m At+△)+B-(At+B) =l.i.m A=4 △t-→0 △t △t→0 而 2 E XGA-X-EA-0 △i 子科技大学

电子科技大学 EX.1 试求随机过程 X(t)  At  B 的均方导数, 其中A、B是相互独立的随机变量. 解 t X t t X t X t t         ( ) ( ) ( ) l.i.m 0 A A t A t t B At B t t           0  0 l.i.m ( ) ( ) l.i.m 而 0 2 ( ) ( ) 2         A E A A t X t t X t E

在一般情况下，直接判断随机过程的可微 性并求出导数过程是极其困难的， 为将随机过程的均方导数研究问题转移到 实数域进行讨论分析，引进广义二阶导数概念： 定义4.4.2称二元函数S,t)在(S,t)处广义 二阶可微，若极限 lim f(s+△s,t+△t)-f(s+△s,t)-f(s,t+△t)+f(s,t) △s-→0 △ts △t→0 存在，称此极限为代S,t)在(S,)处的广义二 阶导数

为将随机过程的均方导数研究问题转移到 实数域进行讨论分析,引进广义二阶导数概念： 在一般情况下, 直接判断随机过程的可微 性并求出导数过程是极其困难的. 定义4.4.2 称二元函数 f(s,t) 在(s, t)处广义 二阶可微, 若极限 t s f s s t t f s s t f s t t f s t t s                  ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 存在, 称此极限为f(s, t)在(s, t)处的广义二 阶导数

注广义二阶导数是二重极限，而二阶混合偏导 是二次极限，一般情况下二者不相等.≤ 参见 P91 例如，考虑二元函数 (y)2 f(x,y)=x2+y2 x2+y2≠0 0 x2+y2=0 在，点(xo,yo)=(0,0)的偏导数与广义二阶导数。 f(0,0)=lim f(x,0)-f(0,0) 0 x→0 x-0 f'(0,0)=lim f(0,y)-f(0,0) =0 y-→0 y-0 学

电子科技大学 广义二阶导数是二重极限,而二阶混合偏导 是二次极限, 一般情况下二者不相等. 注 参见 P91 例如，考虑二元函数            0 0 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在点(x0 , y0)=(0,0)的偏导数与广义二阶导数。 0 0 (0, ) (0,0) (0,0) lim 0 0 ( ,0) (0,0) (0,0) lim 0 0             y f y f f x f x f f y y x x

f.(0,0)=lim lim f(x,y)-f(0,y)-f(x,0)+f(0,0) y→0x→0 (x-0)y-0) 但二重极限im f(x,y)-f(0,y)-f(x,0)+f(0,0) x→0 y→0 (x-0)(y-0) lim- 不存在。 x-→0 y→0 引理4.4.1若二元函数f(S,)关于s,t的一阶偏 导存在，二阶混合偏导存在并连续，则f(5,)一 定是广义二阶可微的.且广义二阶导数为 fy(s,t)=f(s,t)

( 0)( 0) ( , ) (0, ) ( ,0) (0,0) (0,0) lim lim 0 0          x y f x y f y f x f f y x xy 不存在。 但二重极限 2 2 0 0 0 0 lim ( 0)( 0) ( , ) (0, ) ( ,0) (0,0) lim x y xy x y f x y f y f x f y x y x            引理4.4.1若二元函数f (s,t)关于s, t 的一阶偏 导存在, 二阶混合偏导存在并连续, 则f (s,t)一 定是广义二阶可微的. 且广义二阶导数为

二、均方可微准则 定理4.4.1（均方可微准则） 二阶矩过程{X(t),t∈T在，∈T处均方可 微的充要条件是其相关函数R(S,)在(，o)处 广义二阶可微， 证由均方收敛定义及收敛准则可知， X(t),t∈T}在t处均方可微 I.i.m X(。+△)-X(io)存在 △t→0 △t 子科技大学

电子科技大学 二阶矩过程{X( t ),t∈T}在t0∈T处均方可 微的充要条件是其相关函数R(s, t)在(t0 ,t0)处 广义二阶可微. 定理4.4.1 (均方可微准则) 证 由均方收敛定义及收敛准则可知, {X(t),t∈T}在t0处均方可微 存在 t X t t X t t       ( ) ( ) l.i.m 0 0 0 二、均方可微准则

丹 准对 X(to+△t)-X(to) lim E X △t→0 △t X(tos)-x(tp) △S △S→0 存在 lim[R(to+△t,to+△s)-R(to+△t,to) △t→0 △S→0 -R(to,to+△s)R(to,to)]存在 即，RS,)在(，)处广义二阶可微. 包子料技大学

电子科技大学 即，R(s, t)在(t0 ,t0)处广义二阶可微. 洛易夫 准则

推论4.4.1二阶矩过程{X(t),t∈T的相关函数 R(S,)在TXT的对角线上广义二阶可微， 则R(S,t),P(s,t),”(S,t),R(S,t)在T×T上均存在 而且 (1) 导数过程X'(t),t∈T的均值函数为 mx(④=EX'(=E [X(t)]=mx(t) (2) 导数过X'(t),t∈T}的自相关函数为 Rx(s,t)=E[X'(s)X'(t)=Ri(s,t)=Ris(s,t) 子科技大学

电子科技大学 推论4.4.1 二阶矩过程{X(t),t∈T}的相关函数 R(s,t)在T×T的对角线上广义二阶可微, 而且 (1) 导数过程{X(t), t T}的均值函数为 ( ) [ ( )] E[X(t)] m (t) dt d m t E X t X X       (2) 导数过程{X(t),t T}的自相关函数为 则R (s,t), R (s,t), R (s,t), R (s,t)在T T上均存在. s  t  s  t t  s  R (s,t) E[X (s)X (t)] R (s,t) R (s,t) X st ts        

(3) 导数过X'(t),t∈T}与X(t),t∈T的 互相关函数为 Rxx(s,t)=E[X'(s)X(t)]=R(s,t) Rxx(s,t)=E[X(s)X'(t=R'(s,t) 证 mx()=EX=Lim X(t+△)-X() △-→0 =▣e+aX △t-→0 包子科技大学

电子科技大学 R (s,t) E[X (s)X(t)] R (s,t) X X s      R (s,t) E[X(s)X (t)] R (s,t) XX t      互相关函数为 (3) 导数过程{X(t),t T}与{X(t),t T}的 证 (1) mX (t)  E[X(t)]               t X t t X t E t ( ) ( ) l.i.m 0