随机地程及应用 精品课程 第1章第1节概率空间
第1章第1节 概率空间
概率空间 §1.1概率空间 随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何概 率等定义，有如下问题： 1)联系于随机试验E的样本空间2的结构？ 2)对于随机试验E的样本空间2，是否2的 每一个子集（事件）都能确定概率？ 电子科技大学
概率空间 电子科技大学 §1.1 概率空间 一、随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何概 率等定义，有如下问题： 1) 联系于随机试验E的样本空间Ω的结构？ 2) 对于随机试验E的样本空间Ω,是否Ω的 每一个子集(事件)都能确定概率?
概率空间 定义1.1.1（σ代数）：设随机试验E的样本空 间为2，F是2的子集组成的集族，满足 (1)2∈F; (2)若A∈F,则A∈F.(对逆运算封闭) (3)若A:∈F,(i=1,2,…),则U21A:∈F (对可列并运算封闭) o可加 称F为2的一个σ代数（事件体)，F中的集 合称为事件 电子科技大学
概率空间 电子科技大学 定义1.1.1(σ 代数)：设随机试验E 的样本空 间为Ω, F 是Ω 的子集组成的集族，满足 σ可加 称F 为Ω 的一个σ-代数（事件体）, F 中的集 合称为事件. (1) Ω∈F ;
概率空间 Ex在编号为1,2，，n的n个元件中取一件. 1.考虑元件的编号，则全体基本事件为 Ak=k (k=1,2,…,n) 样本空间为 2={1,2,…,n 构造如下事件： Ak,s=Ak UAs (k,s=1,2,...,n, Ai,k,s =AiAk As (i,k,s=1,2,...,n 电子科技大学
概率空间 电子科技大学 Ex 在编号为1,2, …, n 的 n个元件中取一件. 样本空间为 {1,2, ,n} 构造如下事件: A {k} (k 1,2, ,n) k , 1,2, , , Ak,s Ak As k s n A A A A i k s n i k s i k s , , 1,2, , , , ……… 1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为
概率空间 Ai=AiAi0Ai (i1,2,…,in-1=1,2,…,n) 可验证集族{，2，Ak,Ak5,…,A1,,n1} 组成一个σ代数（此实际上就是2的幂集）， 2.考虑元件是正品或次品，则基本事件为 A={取到正品}，A2={取到次品} 则F={中，A1,A2,2}为一个o代数. 通常称F={中，A,A,2}是由A产生的最简 单o代数， 电子科技大学
概率空间 电子科技大学 ( , , , 1,2, , ) 1 2 1 , , , 1 2 n 1 1 2 1 i i i n A A A A n i i i i i in { , , , , , } 1 2 1 , , , , n 可验证集族 Ak Ak s Ai i i 组成一个σ代数(此实际上就是Ω的幂集). 2. 考虑元件是正品或次品，则基本事件为 A1={取到正品}, A2={取到次品}
概率空间 Ex掷一个质量均匀的骰子，观察向上的面 的点数。 样本空间为2={1,2,3,4,5,6} 构造如下事件体（σ-代数）： F={φ，2，{1,3,5}，{2,4,6} F2={0,2,{1,2},{3,4},{5,6},{1,2,3,4,}, {3,4,5,6},{1,2,5,6} F3=2的幂集 电子科技大学
概率空间 电子科技大学 Ex 掷一个质量均匀的骰子，观察向上的面 的点数。 样本空间为 构造如下事件体(σ-代数): { , ,{1,3,5},{2,4,6}} F1 {3,4,5,6},{1,2,5,6}} { , ,{1,2},{3,4},{5,6},{1,2,3,4,}, F2 {1，2，3，4，5，6} F3 的幂集
概率空间 Ex测量一个零件，考虑其测量结果与实 际长度的误差. 基本事件为x},样本空间为 2={x:x∈R}=R1 则R的子集全体：中，2，单点集{x},一切 开的闭的，半开闭区间等以及它们经过可列 交、并、补组成的集族F是一个σ代数. 另外，令41={x:x之0}={出现正误差} A2={x:x<0}={出现负误差} 电子科技大学
概率空间 电子科技大学 Ex 测量一个零件,考虑其测量结果与实 际长度的误差. 基本事件为{x},样本空间为 1 1 Ω {x : x R } R 另外，令 : 0 : 0 2 1 A x x A x x ={出现正误差} ={出现负误差}
概率空间 则F={中，A1,A2,2}为一个o代数. 注：对同一研究对象的同一试验，试验目的 不同，其样本空间和σ代数的结构会不同. 定义1.1.2（可测空间）样本空间2和o代数 的二元体(2，可称为可测空间. 可测空间有如下性质： 1.φ∈F(:中=2) 2.对可列交运算封闭.若A:∈F（i=1,2,·), 电子科技大学
概率空间 电子科技大学 注：对同一研究对象的同一试验, 试验目的 不同, 其样本空间和σ代数的结构会不同. 定义1.1.2(可测空间) 样本空间Ω和σ代数 的二元体(Ω, F) 称为可测空间. 可测空间有如下性质：
概率空间 ∩A,∈F i=1 00 00 证 因 A=UA,Ai∈F→A∈F i=1 i=1 00 00 → UA∈F→∩A;∈F i=1 i=1 3.对有限并，有限交封闭：若A:∈F,i=1,2,…,n 则 ∪A∈F,或∩A,∈F i三1 i=】1 电子科技大学
概率空间 电子科技大学 1 F i Ai 证 , 1 1 i i i 因 Ai A Ai F Ai F 1 1 F F i i i Ai A n i i n i Ai A 1 1 F, F 或
概率空间 4.对差运算封闭，即若A∈F,B∈F,则A一B∈F. .'A-B=A∩B∈F 二、概率的公理化定义 柯氏公理体系是现代概率论的基石. 定义（概率）：设①，F)是一可测空间，对A∈F 定义在F上的实值集函数P(A),满足 1)非负性：对VA∈F,0≤P(A)≤1 2)规范性：P(①2)=1； 电子科技大学
概率空间 电子科技大学 A B A B F 二、概率的公理化定义 柯氏公理体系是现代概率论的基石. 2) 规范性:P(Ω) = 1;