电子科技大学：《随机过程及应用 Stochastic Processes and Applications》课程教学资源（课件讲稿）第4章 二阶矩过程的均方微积分 第1节 收敛性与极限定理

收敛性与极限定理 第四章二阶矩过程的均方微积分 §4.1收敛性与极限定理 §4.2二阶矩随机变量空间及均方极限 §4.3随机过程的均方极限与均方连续 §4.4随机过程的均方导数 §4.5随机过程的均方积分 电子科技大学

收敛性与极限定理 电子科技大学 第四章 二阶矩过程的均方微积分 §4.2 二阶矩随机变量空间及均方极限 §4.3 随机过程的均方极限与均方连续 §4.4 随机过程的均方导数 §4.5 随机过程的均方积分 §4.1 收敛性与极限定理

收敛性与极限定理 §4.1收敛性与极限定理 一、分布函数弱收敛 定义4.1.1对于分布函数列{Fnx)},如果存在 单调不降函数Fx),使 lim F(x)=F(x), n-→00 在Fx)的每一连续点成立，称Fnx)弱收敛于F心) 记为 W Fn(x)-→F(x). 电子科技大学

收敛性与极限定理 电子科技大学 §4.1 收敛性与极限定理 一、分布函数弱收敛 定义4.1.1 对于分布函数列{Fn (x)},如果存在 单调不降函数F(x),使 lim F ( x) F( x), n n   F (x) F(x). W n  在F(x)的每一连续点成立,称Fn (x)弱收敛于F(x). 记为

收敛性与极限定理 注分布函数列的极限函数F)是有界非降函 数，但不一定是分布函数 定理4.1.1连续性定理（列维一克拉美) 正极限定理设分布函数列{F(心)}弱收敛于某 一分布函数Fx),则相应的特征函数列收敛于 特征函数，且在的任一有限区间内收敛是一 致的. W Fn(x)F(x)→{pn(t)}→p(t)一致成立. 电子科技大学

收敛性与极限定理 电子科技大学 注 分布函数列的极限函数F(x)是有界非降函 数，但不一定是分布函数. 定理4.1.1 连续性定理（列维－克拉美） 正极限定理 设分布函数列{Fn (x)}弱收敛于某 一分布函数F(x), 则相应的特征函数列收敛于 特征函数，且在t 的任一有限区间内收敛是一 致的

收敛性与极限定理 逆极限定理设特征函数列{φn(t)}收敛于某一 函数φ(t),且p(t)在t=0连续，则相应的分布函 数列{Fx)}弱收敛于某一分布函数Fx),而且 是Fx)的特征函数 W {pn(t)}→p(t) 在t=0处连续 →Fn(x)→F(x) 连续性定理可用来确定随机变量序列的极限 分布. 电子科技大学

收敛性与极限定理 电子科技大学 {φn (t)}  (t) 在t0处连续 F (x) F(x) W n  连续性定理可用来确定随机变量序列的极限 分布

收敛性与极限定理 Ex,1设随机变量序列X1,X2,.相互独立，且 Xk~P()(k=1,2,) 1)求Yn=∑k=1Xk的概率分布； 2)证明：当m→时，=-趋于N0, 解)pk(t)=e(e“-) pyn(o=pk(t)=e(et-1） k=1 电子科技大学

收敛性与极限定理 电子科技大学 Ex. 1 设随机变量序列X1 , X2 , …相互独立,且 Xk ～P(λ)（k=1,2,…). 解 1) λ ( 1) φ ( )   it e k t e

收敛性与极限定理 即Yn~P(n),且E(Yn)=D(Yn)=ni. 2)Y*的特征函数为 p0=empa） =me2iepG品） =apmi+ 2m+川 =e 2n2 电子科技大学

收敛性与极限定理 电子科技大学 ( ) ( ) λ. 即Yn ～P(nλ), 且 E Y n  D Y n  n         λ φ ( ) φ λ * n t t e n n Y i n t Y exp( ) λ λ λ t n i i n t n n e e e     2 λ λ exp[ (1 )] λ 2 λ n it t i n t e e n n n        )] 2 λ λ [ 2    n t n e

收敛性与极限定理 有 lim oy (t)=e 2, t∈R. n-→o 由连续性定理的逆定理知当n→oo时，Y趋 于正态分布. 二、随机变量的收敛性 定义4.1.2设随机变量序列{X}的分布函数 列{F,x)}弱收敛于随机变量X的分布函数 Fx),称X}依分布收敛于X,记为 W Xn→X as 子科技大学

收敛性与极限定理 电子科技大学 lim φ ( ) , . 2 2 * t e t R t Y n n     有 二、随机变量的收敛性 定义4.1.2 设随机变量序列{Xn}的分布函数 列{Fn (x)}弱收敛于随机变量X 的分布函数 F(x),称{Xn}依分布收敛于X, 记为 X  X as n   W n

收敛性与极限定理 定义4.1.3设{Xn},n=1,2,…是定义在(2，EP)） 上的随机变量序列，若对Vε>0， imP{X,-X≥=0， 或 imP{。-Xoo Xn→X. 电子科技大学

收敛性与极限定理 电子科技大学 lim  ε 0, n n P X X     lim  ε 1. n n P X X  或    称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X, 记为 lim X X ( p) n n   X X. p 或 n 

收敛性与极限定理 定义4.1.4：设{X},n=1,2,…是定义在(2，F,P) 上的随机变量序列，若存在一个随机变量X(可 以是常数)，使 P lim X =X=1 n→oo 称随机变量序列{X}以概率为1收敛于X,或 称几乎处处收敛于X,记为 a.S. Xn→X.或 lim X=X(a.s） n->oo 电子科技大学

收敛性与极限定理 电子科技大学 定义4.1.4 ：设{Xn},n =1,2,…是定义在(Ω,F, P) 上的随机变量序列,若存在一个随机变量X (可 以是常数),使 {lim } 1 n n P X X    称随机变量序列{Xn} 以概率为1收敛于X，或 称几乎处处收敛于X,记为 lim X X a.s. n n   . . . X X a s n  或

收敛性与极限定理 定义4.1.5设{X,n=1,2,…是定义在(2，EP) 上的随机变量序列，若E(Xn2)o∞ 称随机变量序列{X}均方收敛于X,记为 l.i.mX =X. n→oo 电子科技大学

收敛性与极限定理 电子科技大学 lim [ ] 0, 2    E Xn X n 称随机变量序列{Xn}均方收敛于X, 记为 l i m X X. n n    