电子科技大学：《偏微分方程 Partial Differential Equations》课程教学资源（课件讲稿）古典理论：第三章 热传导方程

电子神发女学 厨 956 第三章 热传导方程 1

第三章 热传导方程 1

引言 ◆3.1基本解 ◆3.2初值问题 ◆3.3平均值等式 ◆3.4最大值原理与定解问题的适定性 ◆3.5热传导方程解的可微性与微商的估计 ◆3.6能量法 2

引言 2  3.1 基本解  3.2 初值问题  3.3 平均值等式  3.4 最大值原理与定解问题的适定性  3.5 热传导方程解的可微性与微商的估计  3.6 能量法

引言 设2是R"(n≥2)中的开集，本章研究适当初边值条件下的n维齐次热传导方程 u,-a2△u=0,x∈2，t>0, (3.0.1) 和非齐次热传导方程 u,-a△u=f(x,t),x∈2，t>0, (3.0.2) 其中，a>0是常数。 热传导方程是最简单最典型的抛物型方程。研究热量的传导过程、气体的扩 散现象及电磁场的传播时，都会遇到这类方程。在统计物理、概率论及量子力 学中也要用到这种方程。本章研究热传导方程的定解问题及解的性质。不失一 般性，下文将设方程（3.0.1)和（3.0.2)中系数a=1

3 设  是  2 中的开集，本章研究适当初边值条件下的n维齐次热传导方程 n n  2 0, , 0, t u a u x t      （3.0.1） （3.0.2） 引言 和非齐次热传导方程 2 ( , ), , 0, t u a u f x t x t      其中，a>0是常数。 热传导方程是最简单最典型的抛物型方程。研究热量的传导过程、气体的扩 散现象及电磁场的传播时，都会遇到这类方程。在统计物理、概率论及量子力 学中也要用到这种方程。本章研究热传导方程的定解问题及解的性质。不失一 般性，下文将设方程（3.0.1）和（3.0.2）中系数a=1

电子神发女学 例 956 3.1基本解 4

3.1 基本解 4

3.1基本解 和研究位势方程一样，研究特殊结构的解是研究热传导方程的第一步。容易 验证，函数 e 1,x∈R”,t>0 Φ(x,)=(4πt0)月 (3.1.1) 0. x∈R",t<0 满足方程(3.0.1)。 定义：函数Φ(x,t)称为热传导方程的基本解。 Φ的奇异点是(0,0)，下文有时记Φ(x,t)=Φ(x,),用以强调基本解关于变量x 1 是径向的。设置常数 4x月 的原因在于下面的结论。 5

3.1 基本解 5 和研究位势方程一样，研究特殊结构的解是研究热传导方程的第一步。容易 验证，函数 定义：函数 称为热传导方程的基本解。 的奇异点是 ，下文有时记 ，用以强调基本解关于变量x     2 4 2 1 , , 0 , : 4 0, , 0 x t n n n e x t x t t x t               x t,   (0,0)     x t x t , ,      2 1 4 n  （3.1.1） 满足方程（3.0.1）。 是径向的。设置常数 的原因在于下面的结论

3.1基本解 引理3.1.1对任意的t>0,有 ∫Φ(，)=l 证明：利用Euler积分，可以计算 o: =1. 2 6

3.1 基本解 6 引理3.1.1 对任意的t >0，有 证明：利用Euler积分，可以计算     2 2 2 4 2 2 1 2 1 , 4 1 1 1. n n n i x t n z n n z n i i x t dx e dx t e dz e dz                     , 1.  n   x t dx 

电子神做女学 例 956 3.?初值问题 7

3.2 初值问题 7

3.2初值问题 若函数(x,t)在R”×[0,+∞)上关于x的所有二阶连续偏微商及关于t的一阶连续偏 微商存在，则记为u∈C(®"×[0，+∞川 为了研究热传导方程的初值问题 4,-△u=f(x,t),x∈R”,0<t<o, u(x,0)=p(x),x∈R”, 我们首先介绍函数的Fourier?变换及其性质。 8

3.2 初值问题 8 若函数u(x, t)在 上关于x的所有二阶连续偏微商及关于t 的一阶连续偏 为了研究热传导方程的初值问题 我们首先介绍函数的Fourier变换及其性质。 0,  n     2 1 0, n u C         , , , 0 , ,0 , , n t n u u f x t x t u x x x              微商存在，则记为

3.2.1 Fourier?变换及其性质 Fourier积分变换是分析科学的重要研究工具，它在偏微分方程研究中有重要的 应用，我们将会看到，热传导方程经过对x的Fourier?变换后，简化为常微分方程， 从而便于对初值问题求解。这种解题思想在偏微分方程研究中具有一定的普遍 意义，它同样适用于其他形式的偏微分方程和其他形式的积分变换，如Laplace 变换等。但是，Fourier变换的重要性远远超出求解偏微分方程的范围，它在其他 科学中如信息论、无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用。它是近代科学 技术中得到广泛应用的重要数学工具。 这里，仅简单介绍它的概念、性质和在求解初值问题时的应用。 9

3.2.1 Fourier变换及其性质 9 Fourier积分变换是分析科学的重要研究工具，它在偏微分方程研究中有重要的 应用，我们将会看到，热传导方程经过对x的Fourier变换后，简化为常微分方程， 从而便于对初值问题求解。这种解题思想在偏微分方程研究中具有一定的普遍 意义，它同样适用于其他形式的偏微分方程和其他形式的积分变换，如Laplace 变换等。但是，Fourier变换的重要性远远超出求解偏微分方程的范围，它在其他 科学中如信息论、无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用。它是近代科学 技术中得到广泛应用的重要数学工具。 这里，仅简单介绍它的概念、性质和在求解初值问题时的应用

3.2.1 Fourier3变换及其性质 定义设f∈L(R"),函数 f(传)=∫f(x)ed 3.2.1) 称为x)的Fourier变换；而函数 )4 称为)的Fourieri逆变换。其中，内积x5=x5+x252+..+xn5n. 在不强调函数的自变量的情况下，一个函数的Fourier变换与逆变换也可分别记 作F[f]和F-[f].Fourier?变换有下面的性质： 10

定义 设 f L  1  n  ，函数 1 1 2 2 n n x x x x                1 2 n ix n f x f e d            ˆ n ix f f x e dx       10 3.2.1 Fourier变换及其性质 （3.2.1） 称为f(x)的Fourier变换；而函数 称为f(ξ)的Fourier逆变换。其中，内积 . 在不强调函数的自变量的情况下，一个函数的Fourier变换与逆变换也可分别记 作 和 . Fourier变换有下面的性质： 1 F f [ ]  F f [ ]